Trivial kann sich auch auf jeden einfachen Fall eines Beweises beziehen, der der Vollständigkeit halber nicht außer Acht gelassen werden kann. Zum Beispiel bestehen Beweise durch mathematische Induktion aus zwei Teilen: dem „Basisfall“, der zeigt, dass der Satz für einen bestimmten Anfangswert wahr ist (z. B. n = 0 oder n = 1), und dem induktiven Schritt, der zeigt, dass, wenn der Satz für einen bestimmten Wert von n wahr ist, er auch für den Wert n + 1 wahr ist. Der Basisfall ist oft trivial und wird als solcher gekennzeichnet, obwohl es Situationen gibt, in denen der Basisfall schwierig, der induktive Schritt aber trivial ist. In ähnlicher Weise könnte man beweisen wollen, dass eine bestimmte Eigenschaft für alle Mitglieder einer bestimmten Menge gilt. Der Hauptteil des Beweises wird den Fall einer nicht leeren Menge betrachten und die Mitglieder im Detail untersuchen; in dem Fall, in dem die Menge leer ist, ist die Eigenschaft trivialerweise von allen Mitgliedern besessen, da es keine gibt (siehe leere Wahrheit für mehr).

Ein gängiger Witz in der mathematischen Gemeinschaft besagt, dass „trivial“ gleichbedeutend mit „bewiesen“ ist – d.h. jedes Theorem kann als „trivial“ betrachtet werden, sobald bekannt ist, dass es wahr ist.

Ein anderer Witz betrifft zwei Mathematiker, die über ein Theorem diskutieren: der erste Mathematiker sagt, dass das Theorem „trivial“ ist. Auf die Bitte des anderen um eine Erklärung fährt er dann mit einer zwanzigminütigen Erklärung fort. Am Ende der Erklärung stimmt der zweite Mathematiker zu, dass das Theorem trivial ist. Diese Witze verdeutlichen die Subjektivität des Urteils über die Trivialität. Der Witz gilt auch, wenn der erste Mathematiker sagt, dass das Theorem trivial ist, es aber selbst nicht beweisen kann. Oft wird das Theorem dann scherzhaft als „intuitiv offensichtlich“ bezeichnet. Jemand, der sich mit der Infinitesimalrechnung auskennt, würde zum Beispiel die folgende Aussage für trivial halten:

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}}

Für jemanden, der keine Kenntnisse der Integralrechnung hat, ist dies jedoch überhaupt nicht offensichtlich.

Die Trivialität hängt auch vom Kontext ab. Ein Beweis in der Funktionalanalysis würde wahrscheinlich bei einer Zahl trivialerweise die Existenz einer größeren Zahl voraussetzen. Beim Beweis grundlegender Ergebnisse über die natürlichen Zahlen in der elementaren Zahlentheorie kann der Beweis jedoch sehr wohl von der Bemerkung abhängen, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat – eine Aussage, die selbst bewiesen oder als Axiom aufgefasst werden sollte (siehe Peano-Axiome).

TrivialbeweiseBearbeiten

In einigen Texten bezieht sich ein Trivialbeweis auf eine Aussage mit einer materiellen Implikation P→Q, bei der die Konsequenz Q immer wahr ist. Hier folgt der Beweis unmittelbar aus der Definition der materiellen Implikation, da die Implikation unabhängig vom Wahrheitswert der Vorannahme P wahr ist.

Ein verwandtes Konzept ist die leere Wahrheit, bei der die Vorannahme P in der materiellen Implikation P→Q immer falsch ist. Hier ist die Implikation immer wahr, unabhängig vom Wahrheitswert der Konsequenz Q – wiederum aufgrund der Definition der materiellen Implikation.