Trivialitatea se poate referi, de asemenea, la orice caz ușor al unei demonstrații, care din motive de completitudine nu poate fi ignorat. De exemplu, demonstrațiile prin inducție matematică au două părți: „cazul de bază”, care arată că teorema este adevărată pentru o anumită valoare inițială (cum ar fi n = 0 sau n = 1), și etapa inductivă care arată că dacă teorema este adevărată pentru o anumită valoare a lui n, atunci este adevărată și pentru valoarea n + 1. Cazul de bază este adesea trivial și este identificat ca atare, deși există situații în care cazul de bază este dificil, dar etapa inductivă este trivială. În mod similar, se poate dori să se demonstreze că o anumită proprietate este posedată de toți membrii unui anumit set. Partea principală a dovezii va lua în considerare cazul unui ansamblu nevid și va examina membrii în detaliu; în cazul în care ansamblul este gol, proprietatea este trivială și este posedată de toți membrii, deoarece nu există niciunul (a se vedea adevărul vid pentru mai multe informații).

O glumă frecventă în comunitatea matematică este aceea de a spune că „trivial” este sinonim cu „demonstrat” – adică orice teoremă poate fi considerată „trivială” odată ce se știe că este adevărată.

O altă glumă se referă la doi matematicieni care discută o teoremă: primul matematician spune că teorema este „trivială”. Ca răspuns la cererea de explicații a celuilalt, el continuă apoi cu douăzeci de minute de expunere. La finalul explicației, cel de-al doilea matematician este de acord că teorema este trivială. Aceste glume evidențiază subiectivitatea judecăților despre trivialitate. Gluma se aplică și atunci când primul matematician spune că teorema este trivială, dar este incapabil să o demonstreze el însuși. Adesea, ca o glumă, teorema este menționată atunci ca fiind „intuitiv evidentă”. Cineva cu experiență în calcul, de exemplu, ar considera trivială următoarea afirmație:

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}}

Cu toate acestea, pentru cineva care nu are cunoștințe de calcul integral, acest lucru nu este deloc evident.

Trivialitatea depinde și de context. O demonstrație în analiza funcțională probabil că, dat fiind un număr, ar presupune în mod trivial existența unui număr mai mare. Cu toate acestea, atunci când se demonstrează rezultate de bază despre numerele naturale în teoria elementară a numerelor, demonstrația poate foarte bine să se bazeze pe observația că orice număr natural are un succesor – o afirmație care ar trebui să fie ea însăși demonstrată sau să fie luată ca o axiomă (pentru mai multe, vezi axiomele lui Peano).

Demonstrații trivialeEdit

În unele texte, o demonstrație trivială se referă la o afirmație care implică o implicație materială P→Q, unde consecventul, Q, este întotdeauna adevărat. Aici, demonstrația rezultă imediat în virtutea definiției implicației materiale, deoarece implicația este adevărată indiferent de valoarea de adevăr a antecedentului P.

Un concept înrudit este adevărul vid, unde antecedentul P din implicația materială P→Q este întotdeauna fals. Aici, implicația este întotdeauna adevărată indiferent de valoarea de adevăr a consecventului Q – din nou în virtutea definiției implicației materiale.

.