Triviaali voi viitata myös mihin tahansa todistuksen helppoon tapaukseen, jota ei voida täydellisyyden vuoksi sivuuttaa. Esimerkiksi matemaattisen induktion avulla tehdyissä todistuksissa on kaksi osaa: ”perustapaus”, jossa osoitetaan, että lause on tosi tietyllä alkuarvolla (kuten n = 0 tai n = 1), ja induktiovaihe, jossa osoitetaan, että jos lause on tosi tietyllä n:n arvolla, se on tosi myös arvolla n+1. Perustapaus on usein triviaali ja tunnistetaan sellaiseksi, vaikka on tilanteita, joissa perustapaus on vaikea, mutta induktiivinen vaihe on triviaali. Vastaavasti voidaan haluta todistaa, että jokin ominaisuus on kaikilla tietyn joukon jäsenillä. Todistuksen pääosassa tarkastellaan tapausta, jossa joukko ei ole tyhjä, ja tarkastellaan jäseniä yksityiskohtaisesti; tapauksessa, jossa joukko on tyhjä, ominaisuus on triviaalisti kaikkien jäsenten hallussa, koska jäseniä ei ole yhtään (ks. tyhjä totuus lisää).

Matemaattisessa yhteisössä yleinen vitsi on sanoa, että ”triviaali” on synonyymi ”todistetulle” – eli mitä tahansa teoreemaa voidaan pitää ”triviaalina”, kun sen tiedetään olevan tosi.

Toinen vitsi koskee kahta matemaatikkoa, jotka keskustelevat teoreemasta: ensimmäinen matemaatikko sanoo, että teoreema on ”triviaali”. Vastauksena toisen esittämään selityspyyntöön hän jatkaa sitten kaksikymmentä minuuttia kestävää selitystä. Selityksen päätteeksi toinen matemaatikko on samaa mieltä siitä, että lause on triviaali. Nämä vitsit tuovat esiin triviaalisuutta koskevien arvioiden subjektiivisuuden. Vitsi pätee myös silloin, kun ensimmäinen matemaatikko sanoo lauseen olevan triviaali, mutta ei pysty itse todistamaan sitä. Usein vitsinä lauseeseen viitataan tällöin ”intuitiivisesti ilmeisenä”. Joku, jolla on kokemusta matematiikasta, pitäisi esimerkiksi seuraavaa lausetta triviaalina:

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}}}

\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}

Jollekulle, jolla ei ole tietoa integraalilaskennasta, tämä ei kuitenkaan ole lainkaan itsestäänselvää.

Triviaalius riippuu myös kontekstista. Funktionaalianalyysissä tehtävä todistus luultavasti olettaa triviaalisti jonkin luvun annettuna suuremman luvun olemassaolon. Kuitenkin, kun todistetaan perustuloksia luonnollisista luvuista alkeislukuteoriassa, todistus voi hyvinkin riippua huomautuksesta, että jokaisella luonnollisella luvulla on seuraaja – väite, joka pitäisi itse todistaa tai ottaa aksioomaksi (lisää, katso Peanon aksioomat).

Triviaalit todisteet Muokkaa

Joissain teksteissä triviaalilla todisteella tarkoitetaan väittämää, johon liittyy aineellinen implikaatio P→Q, jossa seuraaja, Q, on aina tosi. Tällöin todistus seuraa välittömästi aineellisen implikaation määritelmän nojalla, koska implikaatio on tosi riippumatta edeltäjän P totuusarvosta.

Seuraava käsite on tyhjä totuus, jossa aineellisen implikaation P→Q edeltäjä P on aina epätosi. Tällöin implikaatio on aina tosi riippumatta seurauksen Q totuusarvosta – jälleen aineellisen implikaation määritelmän nojalla.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.