Trivialitet kan også referere til ethvert let tilfælde af et bevis, som for fuldstændighedens skyld ikke kan ignoreres. Eksempelvis har beviser ved matematisk induktion to dele: “grundtilfældet”, som viser, at sætningen er sand for en bestemt begyndelsesværdi (f.eks. n = 0 eller n = 1), og det induktive trin, som viser, at hvis sætningen er sand for en bestemt værdi af n, så er den også sand for værdien n + 1. Basistilfældet er ofte trivielt og identificeres som sådant, selv om der er situationer, hvor basistilfældet er vanskeligt, men hvor det induktive trin er trivielt. På samme måde kan man ønske at bevise, at alle medlemmer af en bestemt mængde besidder en bestemt egenskab. Hovedparten af beviset vil tage udgangspunkt i et ikke-tomt sæt og undersøge medlemmerne i detaljer; i det tilfælde, hvor sættet er tomt, er egenskaben trivielt besiddet af alle medlemmerne, da der ikke er nogen (se vacuous truth for mere).

En almindelig vittighed i det matematiske samfund er at sige, at “triviel” er synonymt med “bevist” – det vil sige, at enhver sætning kan betragtes som “triviel”, når først man ved, at den er sand.

En anden vittighed drejer sig om to matematikere, der diskuterer en sætning: Den første matematiker siger, at sætningen er “triviel”. Som svar på den andens anmodning om en forklaring, fortsætter han derefter med tyve minutters udlægning. Ved slutningen af forklaringen er den anden matematiker enig i, at sætningen er triviel. Disse vittigheder påpeger den subjektivitet, der ligger i bedømmelser af trivialitet. Vittigheden gælder også, når den første matematiker siger, at sætningen er triviel, men ikke selv er i stand til at bevise den. Ofte omtales sætningen så som en vittighed som “intuitivt indlysende”. En person med erfaring i regning ville f.eks. betragte følgende udsagn som trivielt:

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={{\frac {1}{3}}}}

\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}}

Men for en person uden kendskab til integralregning er dette slet ikke indlysende.

Trivialitet afhænger også af konteksten. Et bevis i funktionel analyse ville sandsynligvis, givet et tal, trivielt antage eksistensen af et større tal. Men når man beviser grundlæggende resultater om de naturlige tal i elementær talteori, kan beviset meget vel afhænge af bemærkningen om, at ethvert naturligt tal har en efterfølger – et udsagn, der i sig selv bør bevises eller tages som et aksiom (se Peanos aksiomer for mere).

Trivielle beviserRediger

I nogle tekster henviser et trivielt bevis til et udsagn, der involverer en materiel implikation P→Q, hvor det efterfølgende, Q, altid er sandt. Her følger beviset umiddelbart i kraft af definitionen af materiel implikation, da implikationen er sand uanset sandhedsværdien af antecedenten P.

Et beslægtet begreb er en tom sandhed, hvor antecedenten P i den materielle implikation P→Q altid er falsk. Her er implikationen altid sand uanset sandhedsværdien af den efterfølgende Q – igen i kraft af definitionen af materiel implikation.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.