Trivialité peut également se référer à tout cas facile d’une preuve, qui pour des raisons de complétude ne peut être ignoré. Par exemple, les preuves par induction mathématique ont deux parties : le « cas de base » qui montre que le théorème est vrai pour une valeur initiale particulière (comme n = 0 ou n = 1), et l’étape inductive qui montre que si le théorème est vrai pour une certaine valeur de n, alors il est également vrai pour la valeur n + 1. Le cas de base est souvent trivial et est identifié comme tel, bien qu’il existe des situations où le cas de base est difficile mais où l’étape inductive est triviale. De même, on peut vouloir prouver qu’une propriété est possédée par tous les membres d’un certain ensemble. La partie principale de la preuve considérera le cas d’un ensemble non vide, et examinera les membres en détail ; dans le cas où l’ensemble est vide, la propriété est trivialement possédée par tous les membres, puisqu’il n’y en a aucun (voir vérité vacuante pour plus).

Une blague courante dans la communauté mathématique consiste à dire que « trivial » est synonyme de « prouvé » – c’est-à-dire que tout théorème peut être considéré comme « trivial » une fois qu’on sait qu’il est vrai.

Une autre blague concerne deux mathématiciens qui discutent d’un théorème : le premier mathématicien dit que le théorème est « trivial ». En réponse à la demande d’explication de l’autre, il procède alors à vingt minutes d’exposition. A la fin de l’explication, le second mathématicien convient que le théorème est trivial. Ces plaisanteries mettent en évidence la subjectivité des jugements sur la trivialité. La blague s’applique également lorsque le premier mathématicien affirme que le théorème est trivial, mais qu’il est incapable de le prouver lui-même. Souvent, pour plaisanter, le théorème est alors qualifié d' »intuitivement évident ». Une personne expérimentée en calcul, par exemple, considérerait l’énoncé suivant comme trivial:

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}.

Cependant, pour quelqu’un qui n’a aucune connaissance du calcul intégral, ce n’est pas du tout évident.

La trivialité dépend aussi du contexte. Une preuve en analyse fonctionnelle supposerait probablement de manière triviale, étant donné un nombre, l’existence d’un nombre plus grand. Cependant, lors de la preuve de résultats de base sur les nombres naturels dans la théorie élémentaire des nombres, la preuve peut très bien s’articuler sur la remarque que tout nombre naturel a un successeur-une affirmation qui devrait elle-même être prouvée ou être prise comme un axiome (pour plus, voir les axiomes de Peano).

Preuves trivialesModification

Dans certains textes, une preuve triviale se réfère à une affirmation impliquant une implication matérielle P→Q, où le conséquent, Q, est toujours vrai. Ici, la preuve suit immédiatement en vertu de la définition de l’implication matérielle, car l’implication est vraie quelle que soit la valeur de vérité de l’antécédent P.

Un concept connexe est une vérité vacante, où l’antécédent P dans l’implication matérielle P→Q est toujours faux. Ici, l’implication est toujours vraie quelle que soit la valeur de vérité du conséquent Q – encore une fois en vertu de la définition de l’implication matérielle.