Trivial może również odnosić się do każdego łatwego przypadku dowodu, który ze względu na kompletność nie może być pominięty. Na przykład, dowody przez indukcję matematyczną mają dwie części: „przypadek podstawowy”, który pokazuje, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej wartości początkowej (takiej jak n = 0 lub n = 1), oraz krok indukcyjny, który pokazuje, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej wartości n, to jest również prawdziwe dla wartości n + 1. Przypadek podstawowy jest często trywialny i jako taki jest identyfikowany, choć zdarzają się sytuacje, gdy przypadek podstawowy jest trudny, ale krok indukcyjny jest trywialny. Podobnie, możemy chcieć udowodnić, że pewna własność jest posiadana przez wszystkich członków pewnego zbioru. W głównej części dowodu rozważymy przypadek zbioru niepustego i szczegółowo zbadamy jego elementy; w przypadku, gdy zbiór jest pusty, własność jest trywialnie posiadana przez wszystkie elementy, ponieważ ich nie ma (więcej na ten temat w artykule Vacuous truth).

Powszechnym żartem w środowisku matematycznym jest stwierdzenie, że „trywialne” jest synonimem „udowodnione” – to znaczy, każde twierdzenie może być uznane za „trywialne”, gdy już wiadomo, że jest prawdziwe.

Inny żart dotyczy dwóch matematyków, którzy dyskutują o pewnym twierdzeniu: pierwszy matematyk mówi, że twierdzenie jest „trywialne”. W odpowiedzi na prośbę drugiego o wyjaśnienie, przystępuje on do dwudziestominutowej eksplikacji. Po zakończeniu wyjaśnień drugi matematyk zgadza się, że twierdzenie jest banalne. Żarty te zwracają uwagę na subiektywność sądów o trywialności. Żart ten dotyczy również sytuacji, gdy pierwszy matematyk twierdzi, że twierdzenie jest trywialne, ale sam nie jest w stanie go udowodnić. Często, w formie żartu, twierdzenie jest wtedy określane jako „intuicyjnie oczywiste”. Ktoś doświadczony w rachunku, na przykład, uznałby następujące twierdzenie za trywialne:

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {{displaystyle ∫int _{0}^{1}x^{2}}},dx={frac {1}{3}}}.

Jednakże dla kogoś, kto nie zna rachunku całkowego, nie jest to wcale oczywiste.

Trywialność zależy też od kontekstu. Dowód w analizie funkcjonalnej prawdopodobnie, biorąc pod uwagę pewną liczbę, trywialnie zakładałby istnienie większej liczby. Jednak podczas dowodzenia podstawowych wyników dotyczących liczb naturalnych w elementarnej teorii liczb, dowód może bardzo dobrze zależeć od uwagi, że każda liczba naturalna ma następnik – stwierdzenie, które samo w sobie powinno być udowodnione lub przyjęte jako aksjomat (więcej, zobacz aksjomaty Peano).

Dowody trywialneEdit

W niektórych tekstach, dowód trywialny odnosi się do stwierdzenia obejmującego implikację materialną P→Q, gdzie konsekwencja, Q, jest zawsze prawdziwa. Tutaj, dowód wynika natychmiast na mocy definicji implikacji materialnej, ponieważ implikacja jest prawdziwa niezależnie od wartości prawdy antecedenta P.

Pokrewnym pojęciem jest pusta prawda, gdzie antecedent P w implikacji materialnej P→Q jest zawsze fałszywy. Tutaj implikacja jest zawsze prawdziwa bez względu na wartość prawdy następnika Q – ponownie na mocy definicji implikacji materialnej.

.