Trivial também pode se referir a qualquer caso fácil de prova, que por uma questão de completude não pode ser ignorada. Por exemplo, as provas por indução matemática têm duas partes: o “caso base” que mostra que o teorema é verdadeiro para um determinado valor inicial (como n = 0 ou n = 1), e o passo indutivo que mostra que se o teorema é verdadeiro para um determinado valor de n, então ele também é verdadeiro para o valor n + 1. O caso base é frequentemente trivial e é identificado como tal, embora existam situações em que o caso base é difícil, mas o passo indutivo é trivial. Da mesma forma, pode-se querer provar que alguma propriedade é possuída por todos os membros de um determinado conjunto. A parte principal da prova considerará o caso de um conjunto não vazio, e examinará os membros em detalhe; no caso em que o conjunto esteja vazio, a propriedade é trivialmente possuída por todos os membros, já que não há nenhum (ver a verdade vazia para mais).
Uma piada comum na comunidade matemática é dizer que “trivial” é sinônimo de “provado” – ou seja, qualquer teorema pode ser considerado “trivial” uma vez que se saiba que é verdadeiro.
Outra piada diz respeito a dois matemáticos que estão discutindo um teorema: o primeiro matemático diz que o teorema é “trivial”. Em resposta ao pedido do outro para uma explicação, ele então procede com vinte minutos de exposição. No final da explicação, o segundo matemático concorda que o teorema é trivial. Essas piadas apontam a subjetividade dos julgamentos sobre a trivialidade. A piada também se aplica quando o primeiro matemático diz que o teorema é trivial, mas é incapaz de prová-lo ele mesmo. Muitas vezes, como uma piada, o teorema é então referido como “intuitivamente óbvio”. Alguém experiente em cálculo, por exemplo, consideraria a seguinte afirmação trivial:
∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\i1}displaystyle \i}int _{0}^{1}x^{2},dx={\i}frac {1}{3}}}
No entanto, para alguém sem conhecimentos de cálculo integral, isto não é nada óbvio.
Trivialidade também depende do contexto. Uma prova em análise funcional provavelmente, dado um número, trivialmente assumiria a existência de um número maior. No entanto, ao provar resultados básicos sobre os números naturais na teoria elementar dos números, a prova pode muito bem depender da observação de que qualquer número natural tem um sucessor – uma afirmação que deve ser provada ou tomada como um axioma (para mais, ver axiomas de Peano).
Provas triviaisEditar
Em alguns textos, uma prova trivial refere-se a uma afirmação que envolve uma implicação material P→Q, onde o consequente, Q, é sempre verdadeiro. Aqui, a prova segue imediatamente em virtude da definição de implicação material, pois a implicação é verdadeira independentemente do valor de verdade do anterior P.
Um conceito relacionado é uma verdade vazia, onde o anterior P na implicação material P→Q é sempre falso. Aqui, a implicação é sempre verdadeira independentemente do valor de verdade do Q-again conseqüente em virtude da definição de implicação material.