Triviale può anche riferirsi a qualsiasi caso facile di una dimostrazione, che per il bene della completezza non può essere ignorato. Per esempio, le prove per induzione matematica hanno due parti: il “caso base” che mostra che il teorema è vero per un particolare valore iniziale (come n = 0 o n = 1), e il passo induttivo che mostra che se il teorema è vero per un certo valore di n, allora è vero anche per il valore n + 1. Il caso base è spesso banale e viene identificato come tale, anche se ci sono situazioni in cui il caso base è difficile ma il passo induttivo è banale. Allo stesso modo, si potrebbe voler dimostrare che qualche proprietà è posseduta da tutti i membri di un certo insieme. La parte principale della dimostrazione considererà il caso di un insieme non vuoto, ed esaminerà i membri in dettaglio; nel caso in cui l’insieme sia vuoto, la proprietà è banalmente posseduta da tutti i membri, poiché non ce ne sono (vedi verità vacua per saperne di più).
Una battuta comune nella comunità matematica è dire che “banale” è sinonimo di “dimostrato” – cioè, qualsiasi teorema può essere considerato “banale” una volta che si sa che è vero.
Un’altra battuta riguarda due matematici che stanno discutendo un teorema: il primo matematico dice che il teorema è “banale”. In risposta alla richiesta di spiegazione dell’altro, egli procede poi con venti minuti di esposizione. Alla fine della spiegazione, il secondo matematico concorda che il teorema è banale. Queste battute sottolineano la soggettività dei giudizi sulla banalità. Lo scherzo si applica anche quando il primo matematico dice che il teorema è banale, ma non è in grado di dimostrarlo lui stesso. Spesso, per scherzo, il teorema viene poi definito “intuitivamente ovvio”. Qualcuno esperto di calcolo, per esempio, considererebbe banale la seguente affermazione:
∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={frac {1}{3}}
Tuttavia, per qualcuno che non conosce il calcolo integrale, questo non è affatto ovvio.
La banalità dipende anche dal contesto. Una dimostrazione in analisi funzionale probabilmente, dato un numero, assumerebbe banalmente l’esistenza di un numero più grande. Tuttavia, quando si provano i risultati di base sui numeri naturali nella teoria elementare dei numeri, la prova può benissimo basarsi sull’osservazione che ogni numero naturale ha un successore – un’affermazione che dovrebbe essere dimostrata o presa come un assioma (per saperne di più, vedi gli assiomi di Peano).
Prove banaliModifica
In alcuni testi, una prova banale si riferisce a un’affermazione che comporta un’implicazione materiale P→Q, dove la conseguente, Q, è sempre vera. Qui, la prova segue immediatamente in virtù della definizione di implicazione materiale, poiché l’implicazione è vera indipendentemente dal valore di verità dell’antecedente P.
Un concetto correlato è una verità vacua, dove l’antecedente P nell’implicazione materiale P→Q è sempre falso. Qui, l’implicazione è sempre vera indipendentemente dal valore di verità del conseguente Q – sempre in virtù della definizione di implicazione materiale.