A triviális utalhat egy bizonyítás bármely könnyű esetére is, amelyet a teljesség kedvéért nem lehet figyelmen kívül hagyni. Például a matematikai indukciós bizonyítások két részből állnak: az “alapesetből”, amely megmutatja, hogy a tétel igaz egy adott kezdőértékre (például n = 0 vagy n = 1), és az induktív lépésből, amely megmutatja, hogy ha a tétel igaz n egy bizonyos értékére, akkor az n + 1 értékére is igaz. Az alapeset gyakran triviális, és mint ilyet azonosítják, bár vannak olyan helyzetek, amikor az alapeset nehéz, de az induktív lépés triviális. Hasonlóképpen előfordulhat, hogy azt szeretnénk bizonyítani, hogy valamilyen tulajdonsággal egy bizonyos halmaz minden tagja rendelkezik. A bizonyítás fő része a nem üres halmaz esetét veszi figyelembe, és részletesen megvizsgálja a tagokat; abban az esetben, ha a halmaz üres, a tulajdonságot triviálisan minden tag birtokolja, mivel nincsenek tagok (lásd bővebben: üres igazság).

A matematikusok körében gyakori vicc, hogy a “triviális” a “bizonyított” szinonimája – vagyis bármelyik tétel “triviálisnak” tekinthető, ha már tudjuk, hogy igaz.

Egy másik vicc két matematikusra vonatkozik, akik egy tételről vitatkoznak: az első matematikus azt mondja, hogy a tétel “triviális”. A másik magyarázatot kérő kérdésére válaszolva aztán húszperces kifejtéssel folytatja. A magyarázat végén a második matematikus egyetért azzal, hogy a tétel triviális. Ezek a viccek rámutatnak a trivialitás megítélésének szubjektivitására. A vicc akkor is érvényes, amikor az első matematikus azt mondja, hogy a tétel triviális, de ő maga nem tudja bizonyítani. Gyakran viccből ilyenkor a tételt “intuitíve nyilvánvalónak” nevezik. Valaki, aki jártas a számtanban, például triviálisnak tartaná a következő állítást:

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}}}}

Az integrálszámításban járatlan ember számára azonban ez egyáltalán nem nyilvánvaló.

A trivialitás a kontextustól is függ. A funkcionálanalízisben egy bizonyítás valószínűleg egy számot megadva triviálisan feltételezné egy nagyobb szám létezését. Amikor azonban a természetes számokra vonatkozó alapvető eredményeket bizonyítjuk az elemi számelméletben, a bizonyítás nagyon is függhet attól a megjegyzéstől, hogy minden természetes számnak van utódja – ez az állítás önmagában is bizonyításra szorul, vagy axiómának tekintendő (bővebben lásd: Peano axiómái).

Triviális bizonyításokSzerkesztés

Egyes szövegekben a triviális bizonyítás olyan állításra utal, amely egy P→Q materiális implikációt tartalmaz, ahol a következmény, Q, mindig igaz. Itt a bizonyítás a materiális implikáció definíciójából azonnal következik, mivel az implikáció a P antecedens igazságértékétől függetlenül igaz.

A kapcsolódó fogalom az üres igazság, ahol a P→Q materiális implikáció P antecedense mindig hamis. Itt az implikáció mindig igaz, függetlenül a Q következmény igazságértékétől – ismét a materiális implikáció definíciója alapján.