1 ÚVOD

Tato kapitola se zabývá zobrazením času a změny v klasických (tj. nekvantových) fyzikálních teoriích. Jedním z hlavních cílů kapitoly je pokusit se objasnit povahu a rozsah tzv. problému času: uzlu technických a interpretačních problémů, které se zdají stát v cestě pokusům o kvantizaci obecné teorie relativity a které mají své kořeny v obecné kovarianci této teorie.

Nejpřirozenější přístup k těmto otázkám je prostřednictvím úvah o jasnějších případech. Proto je velká část kapitoly věnována diskusi o reprezentaci času a změny v jiných, lépe pochopených teoriích, přičemž se začíná nejjednoduššími případy a pokračuje se úvahami o případech, které člověka v tom či onom smyslu připravují na vlastnosti obecné relativity, jež jsou zodpovědné za problém času.

Nechte mě začít tím, že řeknu něco o tom, jaké věci mám na mysli, když mluvím o reprezentaci času a změny ve fyzikálních teoriích, přičemž diskusi zakotvím v nejpostižitelnějším případě ze všech, v newtonovské fyzice.

Jako zcela obecná záležitost připouští mnoho otázek a tvrzení o obsahu fyzikální teorie dvě interpretace – jako otázky týkající se strukturních rysů řešení pohybových rovnic teorie, nebo jako otázky týkající se strukturních rysů těchto rovnic. Například čas se na jedné straně jeví jako aspekt prostoročasů, v nichž se fyzika odehrává – tedy jako aspekt pozadí, v němž se odehrávají řešení rovnic teorie. Na druhé straně je čas zastoupen prostřednictvím své role ve fyzikálních zákonech – zejména v roli, kterou hraje v diferenciálních rovnicích, jež tyto zákony kódují. Otázky a tvrzení o povaze času ve fyzikálních teoriích tedy připouštějí dva druhy čtení.

Považme například tvrzení, že čas je v newtonovské fyzice homogenní (nebo, jak by řekl Newton, že čas plyne rovnoměrně). Existují dva druhy faktů, které bychom mohli považovat za základ tohoto tvrzení.

V newtonovském prostředí se tyto dva druhy úvah pěkně propojují a poskytují si vzájemnou oporu: mezi symetriemi zákonů a symetriemi prostoročasu existuje konsilience. V principu však oba druhy úvah nemusí vést ke stejnému druhu odpovědi: můžeme uvažovat systém v newtonovském prostoročase, na který působí síly závislé na čase; nebo můžeme newtonovský problém n těles zasadit do prostoročasu, který obsahuje preferovaný okamžik, ale jinak má strukturu newtonovského prostoročasu. A jakmile se vzdálíme od známého prostředí newtonovské fyziky, je ještě důležitější oba přístupy rozlišovat: v obecné teorii relativity mají zákony obrovskou (skutečně nekonečně rozměrnou) skupinu symetrií, zatímco obecná řešení nemají symetrie vůbec žádné.

Při diskusi o reprezentaci času a změny se v této kapitole zaměříme spíše na strukturní vlastnosti zákonů fyzikálních teorií než na vlastnosti konkrétních řešení. Abych to zdůraznil, budu říkat, že mě zajímá struktura té či oné teorie jako dynamické teorie.

K svým tématům budu přistupovat prostřednictvím Lagrangeova a Hamiltonova přístupu ke klasickým teoriím, dvou velkých zastřešujících – a úzce souvisejících – rámců, v nichž se taková témata přirozeně řeší.4 Zhruba řečeno, v každém z těchto přístupů je obsah rovnic teorie zakódován v určitých strukturách na prostoru možností spojených s teorií.5 V Lagrangiánském přístupu je zobrazeným prostorem prostor řešení rovnic teorie, který můžeme pro heuristické účely ztotožnit s prostorem možných světů, které teorie umožňuje.6 Na hamiltonovské straně je zobrazovaným prostorem prostor počátečních dat pro rovnice teorie, který můžeme ve stejném duchu ztotožnit s prostorem možných okamžitých stavů povolených teorií.

V newtonovské mechanice spočívá odraz v Lagrangeově rámci časové translační invariantnosti zákonů v tom, že prostor řešení je sám o sobě invariantní vůči časovým translacím: je-li dána množina trajektorií částic v časoprostoru, které se řídí Newtonovými pohybovými zákony, můžeme zkonstruovat množinu trajektorií částic, která vznikne, jestliže všechny události jsou časově translovány o velikost t; tato množina je řešením (tj, je přípustná podle pohybových zákonů) tehdy a jen tehdy, když první množina je; navíc mapa, která nás přenese z řešení do jeho časového překladu, zachovává strukturu na prostoru řešení, která kóduje dynamiku teorie. V hamiltonovském rámci se naproti tomu časová translační invariance zákonů projevuje existencí mapy, která posílá počáteční množinu dat do stavu, do něhož se vyvine za t jednotek času; tato mapa opět ponechává invariantní strukturu na prostoru, která kóduje dynamiku teorie. Časová symetrie dynamiky teorie se tedy na Lagrangeově straně odráží v pojmu časové translace a na Hamiltonově straně v pojmu časové evoluce.

Zobrazení změny v newtonovské fyzice má v rámci Lagrangeova a Hamiltonova rámce také různé (ale úzce související) podoby. Změna spočívá v tom, že systém má v různých časech různé a neslučitelné vlastnosti. Chceme například říci, že dochází ke změně pozorovatelných vlastností soustavy dvou těles tehdy a jen tehdy, když je relativní vzdálenost mezi částicemi v různých časech různá.

Hamiltonovský přístup. K určení okamžitého dynamického stavu takové soustavy stačí určit okamžitou relativní vzdálenost mezi částicemi. Existuje tedy funkce na prostoru počátečních dat odpovídající této veličině. Historie systému je trajektorie v prostoru počátečních dat. V našem jednoduchém příkladu dochází během dané historie k pozorovatelné změně tehdy a jen tehdy, pokud funkce odpovídající relativní vzdálenosti mezi částicemi nabývá v různých bodech dané trajektorie různých hodnot. Obecněji řečeno, v jakémkoli newtonovském systému je jakákoli fyzikálně zajímavá veličina (pozorovatelná či nepozorovatelná) reprezentována funkcí v prostoru počátečních dat a trajektorie v tomto prostoru reprezentuje takové veličiny jako měnící se, pokud příslušné funkce nabývají různých hodnot v různých bodech trajektorie.

Lagrangiánský přístup. Je zřejmé, že žádná funkce v prostoru řešení nemůže reprezentovat proměnnou veličinu stejným přímým způsobem jako funkce v prostoru počátečních dat. Pro každé t však existuje funkce na prostoru řešení naší úlohy dvou těles, která každému řešení přiřazuje relativní vzdálenost mezi částicemi v čase t podle tohoto řešení. Necháme-li t měnit, sestrojíme jednoparametrovou rodinu funkcí na prostoru řešení. Řešení pohybových rovnic představuje relativní vzdálenost mezi částicemi jako měnící se tehdy a jen tehdy, když různé členy této jednoparametrické rodiny funkcí nabývají při vyhodnocení na daném řešení různých hodnot. A tak dále obecněji: každá proměnná fyzikální veličina odpovídá takové jednoparametrové rodině funkcí na prostoru řešení a změna je chápána jako v jednoduchém příkladu se dvěma tělesy.

Tolik k tomu, co mám na mysli, když mluvím o reprezentaci času a změny ve fyzikální teorii. Než nastíním cestu, kterou se tato kapitola při probírání těchto témat ubírá, bude snad užitečné říci něco o jejím konečném cíli – objasnění povahy tzv. problému času. Diskuse o problému času se obvykle zaměřují na hamiltonovské verze obecné teorie relativity, v nichž se pozornost soustřeďuje na prostor možných okamžitých geometrií (metriky a druhé fundamentální formy na Cauchyho plochách). To je poněkud nešťastné, protože takové přístupy od počátku vyžadují rozdělení prostoročasu na rodinu prostorově podobných hypersfér – což se zdá být proti duchu obvyklého chápání obecné kovariance teorie. Ve světle této skutečnosti existuje prostor pro obavy, že některé aspekty problému času, jak je obvykle prezentován, jsou důsledkem tohoto poněkud nešikovného způsobu postupu. Vydám se poněkud jinou cestou a svou diskusi vždy zakotvím v Lagrangeově přístupu, který bere za základní úplné historie systémů, nikoliv okamžité stavy.

Níže rozvíjený názor spočívá v tom, že zhruba řečeno jádro problému času spočívá v tom, že v obecné relativitě, je-li chápána dynamicky, neexistuje způsob, jak nahlížet na vývoj času nebo translaci času jako na symetrie teorie, a v souvislosti s tím neexistuje přirozený způsob, jak modelovat změny prostřednictvím funkcí na prostorech vznikajících v rámci Lagrangeova a Hamiltonova přístupu.7 To značí aspekt, v němž se takto pojatá obecná relativita velmi liší od předchozích fundamentálně vyhlížejících teorií.

Problém času může znít – nepříliš naléhavě. Jistě, jsou zde hádanky. Proč by se měla obecná teorie relativity takto lišit od svých předchůdců? V předchůdcích obecné relativity jsou reprezentace času a reprezentace změny svázány do velmi úhledného balíčku – jak vypadá obecná relativistická náhrada tohoto balíčku? To jsou zajímavé otázky. Pak by ovšem nikdo neměl očekávat, že čas bude v obecné relativitě reprezentován stejně jako v jejích předchůdcích – to, že představuje zcela nový obraz času a prostoru, je jednou z chloub této teorie. A někdo by si také mohl myslet: vzhledem k tomu, že struktura prostoročasu se v obecné relativitě liší od řešení k řešení, je jistě vhodnější podívat se na reprezentaci času v tom či onom fyzikálně realistickém řešení, než v rovnicích teorie, chceme-li pochopit, co nám teorie říká o povaze času v našem světě.

Problém času však nabývá naléhavějšího aspektu, když uvažujeme o kvantování obecné relativity (nebo jakékoli jiné teorie, která je obecně kovariantní v příslušném smyslu). Projekt konstrukce nástupnických teorií přirozeně zaměřuje naši pozornost na strukturální rysy současných teorií – při konstrukci nástupnických teorií se uzavírají sázky na to, které takové rysy současných teorií budou žít dál (třeba v nové podobě) a které budou ponechány. A známé techniky kvantizace vyžadují jako vstup nejen diferenciální rovnice, ale i teorie v hamiltonovské nebo lagrangeovské formě. Pro zájemce o kvantizaci obecné teorie relativity tak přirozeně vyvstávají otázky týkající se struktury teorie qua dynamické teorie. A chybí-li řešení výše zmíněných hádanek, lze očekávat koncepční potíže při formulování (nebo získávání předpovědí z) jakékoli kvantizace obecné relativity. Z tohoto pohledu je tedy problém času ve skutečnosti dosti naléhavý.

Tato kapitola se vydává dlouhou cestou k problému času. V oddíle 2 začínám nejstručnějším úvodem do hamiltonovské a lagrangeovské mechaniky, abych motivoval část toho, co bude následovat. V oddíle 3 nastiňuji některé důležité pojmy a výsledky symplektické geometrie, oblasti matematiky, která je základem klasické mechaniky. Pojmy zde představené jsou klíčové pro to, co bude následovat: pro dobře chované teorie má prostor řešení (na straně Lagrangeovy) i prostor počátečních dat (na straně Hamiltonovy) symplektickou strukturu. A uvidíme, že různé symplektické (nebo téměř symplektické) prostory vznikají i tehdy, když se odchýlíme od ideálního případu. V oddíle 4 načrtnu velmi silný rámec moderní Lagrangeovy mechaniky s jejím aparátem lokálních zákonů zachování.

V oddíle 5 načrtnu Lagrangeův a Hamiltonův obraz pro ideálně dobře chované teorie splňující následující podmínky: (i) geometrie časoprostoru na pozadí připouští grupu časových translací a Lagrangián teorie je invariantní (ve vhodném smyslu) pod působením této grupy; (ii) zadání počátečních dat pro rovnice teorie stačí k určení jediného maximálního řešení; (iii) toto maximální řešení je definováno pro všechny hodnoty časového parametru. Pokud tyto podmínky platí, zjistíme, že na Lagrangeově straně existuje grupa časových translačních symetrií působících na prostor řešení, zatímco na Hamiltonově straně existuje grupa realizující časový vývoj na prostoru počátečních dat. Tyto dva prostory jsou izomorfní a akce obou grup se uspokojivě prolínají. Člověk je schopen podat přímočarý a přitažlivý popis způsobu, jakým je změna reprezentována na kterémkoli z těchto dvou základních prostorů.

V oddíle 6 se věnuji komplikacím, které je třeba do obrazu vnést, když odpadne některá z podmínek (i)-(iii) předchozího odstavce. Konečně v oddíle 7 se zabývám zobrazením času a změny v obecné teorii relativity. To vede přímo k problému času.

Jak je z této osnovy zřejmé, velká část kapitoly je věnována výkladu technického materiálu. Abych zachoval přiměřenou délku, musel jsem předpokládat, že čtenář přichází k této kapitole s poměrně velkým množstvím technických znalostí. Snažil jsem se psát pro ideálního čtenáře, který již dříve studoval obecnou teorii relativity nebo poměrovou teorii, a tudíž se cítí dobře se základními pojmy, výsledky a konstrukcemi diferenciální geometrie (ačkoli na několika strategických místech jsem zařadil diskusi, která má takovým čtenářům osvěžit paměť).

Tato kapitola je založena na moderním geometrickém přístupu k Lagrangeově mechanice, který je v nejstručnějším náčrtu představen v oddíle 4.

. Tento přístup, který matematici vyvinuli relativně nedávno, poskytuje spíše vysoce abstraktní rámec pro uvažování o fyzikálních teoriích než plně rigorózní zpracování nějaké dané teorie. Existuje na formální, diferenciálně-geometrické úrovni: důraz je kladen na geometrickou strukturu různých prostorů a na geometrický obsah rovnic a konstrukcí; funkční analytické detaily jsou ponechány stranou. Velká část materiálu nastíněného v jiných částech funguje na stejné úrovni.

Obsahově se tato kapitola poněkud překrývá s , , a . Nejvíce však souvisí s . Butterfieldova kapitola poskytuje filozofický úvod do moderních geometrických přístupů k mechanice; tato kapitola je míněna jako příklad aplikace tohoto přístupu na filozofický problém. Tato kapitola je však zamýšlena jako samostatná. A ve skutečnosti je mezi touto kapitolou a Butterfieldovou kapitolou značný rozdíl v důrazu: Butterfieldova kapitola se omezuje na systémy konečných rozměrů a zaměřuje se na hamiltonovskou stránku věci; tato kapitola se zabývá především teoriemi pole a v mnohem větší míře se zaměřuje na Lagrangeův přístup.

Poznámka 1 (Notace a terminologie):

Prvky a struktury v prostoru řešení teorie pole se vždy označují velkými písmeny (řeckými nebo latinskými), zatímco prvky a struktury v prostoru počátečních dat teorie pole se vždy označují malými písmeny (řeckými nebo latinskými). Tučným písmem jsou označeny trojvektory nebo trojvektorové funkce. V této kapitole je křivka oficiálně mapa z intervalů reálných čísel do prostoru, který je mnohoúhelníkem nebo mírným zobecněním mnohoúhelníku – někdy pro zdůraznění nadbytečně nazývám křivku parametrizovanou křivkou. Afinně parametrizovaná křivka je třída ekvivalencí takových křivek, kde se dvě křivky považují za ekvivalentní, pokud mají stejný obraz a jejich parametrizace se shoduje až na volbu počátku.8 Neparametrizovaná křivka je třída ekvivalencí křivek podle relace ekvivalence, kde se křivky považují za ekvivalentní, pokud mají stejný obraz. Někdy zaměňuji křivku a její obraz.

PŘEDMLUVA 2 (Řeč o možných světech).

Podle toho, zejména v oddíle 7, někdy mluvím o bodech prostoru řešení (počátečních dat) jako o reprezentantech možných světů (možných okamžitých stavů) povolených teorií, i když nepředstírám, že se zde zabývám jemnými interpretačními záležitostmi. Takové věci jsou míněny pouze v hrubých rysech a heuristicky. Jde o to, že při snaze porozumět teorii se částečně zabýváme hledáním její zřetelné formulace; a je rozumné doufat, že pokud je formulace zřetelná, pak bude existovat na první pohled přitažlivá interpretace teorie, podle níž existuje bijekce mezi prostorem řešení (výchozích dat) a prostorem možných světů (možných okamžitých stavů), které teorie při této interpretaci připouští. Tím nepopíráme, že mohou existovat důvody, proč takové interpretace nakonec odmítnout: leibnizovec se může spokojit se standardní formulací klasické mechaniky, i když to znamená považovat reprezentační vztah mezi řešeními a možnými světy za vztah mnoho k jedné na základě toho, že řešení spojená časovým převodem musí být považována za odpovídající témuž možnému světu.

.