1 EINLEITUNG

Dieses Kapitel befasst sich mit der Darstellung von Zeit und Veränderung in klassischen (d.h. nichtquantischen) physikalischen Theorien. Eines der Hauptziele des Kapitels ist der Versuch, Art und Umfang des sogenannten Zeitproblems zu klären: ein Knäuel technischer und interpretatorischer Probleme, die den Versuchen, die allgemeine Relativitätstheorie zu quantisieren, im Wege zu stehen scheinen und die ihre Wurzeln in der allgemeinen Kovarianz dieser Theorie haben.

Der natürlichste Zugang zu diesen Fragen ist die Betrachtung klarerer Fälle. Ein großer Teil des Kapitels ist daher der Erörterung der Darstellung von Zeit und Veränderung in anderen, besser verstandenen Theorien gewidmet, beginnend mit den einfachsten Fällen und fortfahrend mit der Betrachtung von Fällen, die einen in dem einen oder anderen Sinne auf die Merkmale der allgemeinen Relativitätstheorie vorbereiten, die für das Zeitproblem verantwortlich sind.

Lassen Sie mich zunächst etwas darüber sagen, was ich im Sinn habe, wenn ich von der Darstellung von Zeit und Veränderung in physikalischen Theorien spreche, wobei ich die Diskussion auf den einfachsten Fall von allen, die Newtonsche Physik, stütze.

Ganz allgemein lassen viele Fragen und Behauptungen über den Inhalt einer physikalischen Theorie zwei Auffassungen zu – als Fragen nach strukturellen Merkmalen der Lösungen der Bewegungsgleichungen der Theorie oder als Fragen nach strukturellen Merkmalen dieser Gleichungen. Zum Beispiel erscheint die Zeit einerseits als ein Aspekt der Raumzeiten, in denen sich die Physik entfaltet – das heißt als ein Aspekt des Hintergrunds, in dem die Lösungen der Gleichungen der Theorie angesiedelt sind. Andererseits wird die Zeit durch ihre Rolle in den Gesetzen der Physik dargestellt – insbesondere durch ihre Rolle in den Differentialgleichungen, die diese Gesetze kodieren. Fragen und Behauptungen über die Natur der Zeit in physikalischen Theorien lassen also zwei Arten von Lesarten zu.

Betrachten wir zum Beispiel die Behauptung, dass die Zeit in der Newtonschen Physik homogen ist (oder, wie Newton es ausdrücken würde, dass die Zeit gleichmäßig fließt). Es gibt zwei Arten von Tatsachen, auf die wir diese Behauptung stützen können.

Im Newtonschen Rahmen greifen diese beiden Arten von Überlegungen gut ineinander und unterstützen sich gegenseitig: Es gibt eine Übereinstimmung zwischen den Symmetrien der Gesetze und den Symmetrien der Raumzeit. Aber im Prinzip müssen die beiden Arten von Überlegungen nicht zu derselben Art von Antwort führen: Man könnte ein System in der Newtonschen Raumzeit betrachten, das zeitabhängigen Kräften unterliegt; oder man könnte das Newtonsche n-Körper-Problem in eine Raumzeit setzen, die einen bevorzugten Zeitpunkt aufweist, aber ansonsten die Struktur der Newtonschen Raumzeit hat. Und je weiter man sich von der vertrauten Umgebung der Newtonschen Physik entfernt, desto wichtiger wird es, die beiden Ansätze zu unterscheiden: In der allgemeinen Relativitätstheorie haben die Gesetze eine enorme (in der Tat unendlich-dimensionale) Gruppe von Symmetrien, während allgemeine Lösungen keinerlei Symmetrien aufweisen.

Bei der Erörterung der Darstellung von Zeit und Veränderung wird sich dieses Kapitel auf strukturelle Merkmale der Gesetze physikalischer Theorien konzentrieren und nicht auf Merkmale bestimmter Lösungen. Um diesen Punkt zu betonen, werde ich sagen, dass ich mich für die Struktur dieser oder jener Theorie als dynamische Theorie interessiere.

Ich werde mich meinen Themen über den Lagrangeschen und den Hamiltonschen Ansatz für klassische Theorien nähern, zwei große übergreifende – und eng verwandte – Rahmen, in denen solche Themen natürlich behandelt werden.4 Grob gesagt, wird in jedem dieser Ansätze der Inhalt der Gleichungen einer Theorie in bestimmten Strukturen auf einem Raum von Möglichkeiten kodiert, die mit der Theorie verbunden sind.5 Im Lagrangeschen Ansatz ist der vorgestellte Raum der Raum der Lösungen der Gleichungen der Theorie, den wir für heuristische Zwecke mit dem Raum der möglichen Welten identifizieren können, die die Theorie zulässt.6 Auf der Hamilton-Seite ist der vorgestellte Raum der Raum der Anfangsdaten für die Gleichungen der Theorie, den wir im gleichen Sinne mit dem Raum der möglichen momentanen Zustände identifizieren können, die von der Theorie erlaubt werden.

In der Newtonschen Mechanik spiegelt sich im Lagrangeschen Rahmen die Zeittranslationsinvarianz der Gesetze darin wider, dass der Raum der Lösungen selbst unter Zeittranslation invariant ist: Gegeben eine Menge von Teilchenbahnen in der Raumzeit, die den Newtonschen Bewegungsgesetzen gehorchen, können wir die Menge der Teilchenbahnen konstruieren, die sich ergeben, wenn alle Ereignisse in der Zeit um den Betrag t verschoben werden; die letztere Menge ist eine Lösung (d.h., Die letztere Menge ist eine Lösung (d. h. sie ist nach den Bewegungsgesetzen zulässig), wenn und nur wenn die erstere Menge eine Lösung ist; außerdem bewahrt die Abbildung, die uns von einer Lösung zu ihrer Zeitverschiebung führt, die Struktur im Lösungsraum, die die Dynamik der Theorie kodiert. Im Hamilton’schen Rahmen hingegen spiegelt sich die zeitliche Translationsinvarianz der Gesetze in der Existenz einer Karte wider, die einen Anfangsdatensatz in den Zustand überführt, in den er sich in t Zeiteinheiten entwickeln wird; auch diese Karte lässt die Struktur des Raums, der die Dynamik der Theorie kodiert, unverändert. Die zeitliche Symmetrie der Dynamik der Theorie wird also auf der Lagrangeschen Seite durch den Begriff der Zeittranslation und auf der Hamiltonschen Seite durch den Begriff der Zeitentwicklung widergespiegelt.

Die Darstellung der Veränderung in der Newtonschen Physik nimmt ebenfalls unterschiedliche (aber eng verwandte) Formen innerhalb des Lagrangeschen und Hamiltonschen Rahmens an. Veränderung besteht darin, dass ein System zu verschiedenen Zeiten unterschiedliche und unvereinbare Eigenschaften hat. Wir wollen zum Beispiel sagen, dass sich die beobachtbaren Eigenschaften eines Zweikörpersystems dann und nur dann ändern, wenn der relative Abstand zwischen den Teilchen zu verschiedenen Zeiten unterschiedlich ist.

Hamiltonscher Ansatz. Die Angabe des momentanen dynamischen Zustands eines solchen Systems reicht aus, um den momentanen relativen Abstand zwischen den Teilchen anzugeben. Es gibt also eine Funktion auf dem Raum der Anfangsdaten, die dieser Größe entspricht. Eine Geschichte des Systems ist eine Trajektorie durch den Raum der Anfangsdaten. In unserem einfachen Beispiel tritt eine beobachtbare Veränderung während einer gegebenen Geschichte dann und nur dann auf, wenn die Funktion, die dem relativen Abstand zwischen den Teilchen entspricht, an verschiedenen Punkten der betreffenden Trajektorie unterschiedliche Werte annimmt. Allgemeiner ausgedrückt, wird in jedem Newtonschen System jede Menge von physikalischem Interesse (beobachtbar oder nicht) durch eine Funktion im Raum der Anfangsdaten dargestellt, und eine Trajektorie in diesem Raum stellt solche Mengen als sich ändernd dar, wenn die entsprechenden Funktionen an verschiedenen Punkten der Trajektorie unterschiedliche Werte annehmen.

Lagrangescher Ansatz. Es ist klar, dass keine Funktion im Raum der Lösungen eine veränderliche Größe auf dieselbe direkte Weise darstellen kann wie Funktionen im Raum der Anfangsdaten. Aber für jedes t gibt es eine Funktion auf dem Raum der Lösungen unseres Zweikörperproblems, die jeder Lösung den relativen Abstand zwischen den Teilchen zum Zeitpunkt t entsprechend dieser Lösung zuordnet. Wenn wir t variieren lassen, konstruieren wir eine einparametrige Familie von Funktionen auf dem Raum der Lösungen. Eine Lösung der Bewegungsgleichungen stellt den relativen Abstand zwischen den Teilchen dann und nur dann als sich ändernd dar, wenn verschiedene Mitglieder dieser einparametrigen Familie von Funktionen unterschiedliche Werte annehmen, wenn sie für die gegebene Lösung ausgewertet werden. Und so allgemeiner: Jede veränderliche physikalische Größe entspricht einer solchen einparametrigen Familie von Funktionen im Lösungsraum, und die Veränderung wird wie im einfachen Zweikörperbeispiel verstanden.

So viel zu dem, was mir vorschwebt, wenn ich von der Darstellung von Zeit und Veränderung in einer physikalischen Theorie spreche. Bevor ich den Weg skizziere, den dieses Kapitel bei der Erörterung dieser Themen einschlägt, wird es vielleicht hilfreich sein, etwas über das eigentliche Ziel zu sagen – die Klärung der Natur des sogenannten Zeitproblems. Diskussionen über das Zeitproblem konzentrieren sich in der Regel auf Hamiltonsche Versionen der allgemeinen Relativitätstheorie, bei denen der Schwerpunkt auf dem Raum möglicher momentaner Geometrien (Metriken und zweite Grundformen auf Cauchy-Flächen) liegt. Dies ist etwas unglücklich, da solche Ansätze von vornherein eine Aufteilung der Raumzeit in eine Familie von raumähnlichen Hyperflächen erfordern – was dem üblichen Verständnis der allgemeinen Kovarianz der Theorie zu widersprechen scheint. In Anbetracht dieser Tatsache ist zu befürchten, dass einige Aspekte des Zeitproblems, wie es üblicherweise dargestellt wird, Folgen dieser eher ungeschickten Vorgehensweise sind. Ich gehe einen etwas anderen Weg und verankere meine Diskussion immer im Lagrangeschen Ansatz, der als grundlegend die vollständige Geschichte von Systemen und nicht die momentanen Zustände ansieht.

Der Kern des Zeitproblems besteht, grob gesagt, darin, dass es in der Allgemeinen Relativitätstheorie, wenn sie dynamisch verstanden wird, keine Möglichkeit gibt, die Zeitentwicklung oder die Zeittranslation als Symmetrien der Theorie zu betrachten, und dass es in diesem Zusammenhang keinen natürlichen Weg gibt, Veränderungen durch Funktionen in den Räumen zu modellieren, die in den Lagrangeschen und Hamiltonschen Ansätzen entstehen.7 Dies ist ein Aspekt, in dem sich die allgemeine Relativitätstheorie, so wie sie konzipiert ist, sehr von den vorangegangenen fundamentalistischen Theorien unterscheidet.

Das Zeitproblem mag – nicht sehr dringlich – erscheinen. Allerdings gibt es hier Rätsel auf. Warum sollte sich die allgemeine Relativitätstheorie in dieser Weise von ihren Vorgängern unterscheiden? In den Vorgängern der allgemeinen Relativitätstheorie sind die Darstellung der Zeit und die Darstellung der Veränderung zu einem sehr ordentlichen Paket geschnürt – wie sieht der allgemein relativistische Ersatz für dieses Paket aus? Das sind interessante Fragen. Aber natürlich sollte niemand erwarten, dass die Zeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie so dargestellt wird wie in ihren Vorgängern – dass sie ein völlig neues Bild von Zeit und Raum präsentiert, ist einer der Vorzüge der Theorie. Und man könnte auch denken: Da die Struktur der Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie von Lösung zu Lösung variiert, ist es sicherlich angemessener, die Darstellung der Zeit in dieser oder jener physikalisch realistischen Lösung zu betrachten, als in den Gleichungen der Theorie, wenn wir verstehen wollen, was die Theorie uns über die Natur der Zeit in unserer Welt sagt.

Das Problem der Zeit nimmt jedoch einen dringlicheren Aspekt an, wenn man die Quantisierung der Allgemeinen Relativitätstheorie (oder jeder anderen Theorie, die im relevanten Sinne kovariant ist) betrachtet. Das Projekt der Konstruktion von Nachfolgetheorien lenkt unsere Aufmerksamkeit natürlich auf strukturelle Merkmale der vorliegenden Theorien – bei der Konstruktion von Nachfolgetheorien geht es darum, Wetten darüber abzuschließen, welche dieser Merkmale der aktuellen Theorien (vielleicht in neuer Form) weiterleben und welche zurückbleiben. Und die bekannten Quantisierungstechniken erfordern als Input nicht nur Differentialgleichungen, sondern auch Theorien in Hamiltonscher oder Lagrangescher Form. Für diejenigen, die an der Quantisierung der allgemeinen Relativitätstheorie interessiert sind, stellen sich daher natürlich Fragen nach der Struktur der Theorie qua dynamischer Theorie. Und ohne Lösungen für die oben erwähnten Rätsel sind konzeptionelle Schwierigkeiten bei der Formulierung einer Quantisierung der allgemeinen Relativitätstheorie (oder bei der Gewinnung von Vorhersagen daraus) zu erwarten. Aus dieser Perspektive ist das Zeitproblem also in der Tat ziemlich drängend.

Dieses Kapitel geht einen langen Weg zum Zeitproblem. Ich beginne in Abschnitt 2 mit einer kurzen Einführung in die Hamiltonsche und Lagrangesche Mechanik, um einige der folgenden Ausführungen zu motivieren. In Abschnitt 3 skizziere ich einige wichtige Konzepte und Ergebnisse der symplektischen Geometrie, dem Gebiet der Mathematik, das der klassischen Mechanik zugrunde liegt. Die hier vorgestellten Konzepte sind für die folgenden Ausführungen von entscheidender Bedeutung: Bei gut funktionierenden Theorien haben sowohl der Raum der Lösungen (auf der Lagrangeschen Seite) als auch der Raum der Anfangsdaten (auf der Hamiltonschen Seite) symplektische Strukturen. Und wir werden sehen, dass verschiedene symplektische (oder fast symplektische) Räume entstehen, auch wenn man vom Idealfall abweicht. In Abschnitt 4 skizziere ich den sehr mächtigen Rahmen der modernen Lagrangeschen Mechanik mit ihrem Apparat lokaler Erhaltungssätze.

In Abschnitt 5 skizziere ich die Lagrangeschen und Hamiltonschen Bilder für ideal wohlbehaltene Theorien, die die folgenden Bedingungen erfüllen: (i) die Hintergrund-Raumzeitgeometrie lässt eine Gruppe von Zeittranslationen zu und die Lagrange der Theorie ist (in einem geeigneten Sinne) unter der Wirkung dieser Gruppe invariant; (ii) die Angabe von Anfangsdaten für die Gleichungen der Theorie reicht aus, um eine einzige maximale Lösung zu bestimmen; (iii) diese maximale Lösung ist für alle Werte des Zeitparameters definiert. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, gibt es auf der Lagrangeschen Seite eine Gruppe von Zeittranslationssymmetrien, die auf dem Lösungsraum wirken, während auf der Hamiltonschen Seite eine Gruppe existiert, die die Zeitentwicklung auf dem Raum der Anfangsdaten implementiert. Diese beiden Räume sind isomorph, und die beiden Gruppenaktionen verflechten sich auf befriedigende Weise. Man kann die Art und Weise, wie Veränderungen in einem dieser beiden fundamentalen Räume dargestellt werden, auf einfache und ansprechende Weise erklären.

In Abschnitt 6 wende ich mich den Komplikationen zu, die in das Bild eingeführt werden müssen, wenn man eine der Bedingungen (i)-(iii) des vorhergehenden Absatzes fallen lässt. In Abschnitt 7 schließlich gehe ich auf die Darstellung von Zeit und Veränderung in der allgemeinen Relativitätstheorie ein. Dies führt direkt zum Problem der Zeit.

Wie diese Gliederung deutlich macht, ist ein großer Teil des Kapitels der Darstellung von technischem Material gewidmet. Um die Länge des Kapitels in einem vernünftigen Rahmen zu halten, musste ich davon ausgehen, dass der Leser mit einem gewissen technischen Hintergrundwissen zu diesem Kapitel kommt. Ich habe versucht, für einen idealen Leser zu schreiben, der zuvor die allgemeine Relativitätstheorie oder die Eichtheorie studiert hat und sich daher mit den grundlegenden Konzepten, Ergebnissen und Konstruktionen der Differentialgeometrie wohlfühlt (obwohl ich an einigen strategischen Punkten Diskussionen eingefügt habe, die dem Gedächtnis solcher Leser auf die Sprünge helfen sollen).

Dieses Kapitel basiert auf dem modernen geometrischen Ansatz der Lagrangeschen Mechanik, der in Abschnitt 4 in einer knappen Skizze vorgestellt wird. Dieser Ansatz, der erst vor relativ kurzer Zeit von Mathematikern entwickelt wurde, bietet einen sehr abstrakten Rahmen, um über physikalische Theorien nachzudenken, und nicht eine vollständig rigorose Behandlung einer bestimmten Theorie. Er existiert auf der formalen, differentialgeometrischen Ebene: Der Schwerpunkt liegt auf der geometrischen Struktur verschiedener Räume und auf dem geometrischen Inhalt von Gleichungen und Konstruktionen; funktionalanalytische Details werden in den Hintergrund gedrängt. Vieles von dem in anderen Abschnitten skizzierten Material funktioniert auf dieser Ebene.

Inhaltlich überschneidet sich dieses Kapitel etwas mit, und. Butterfields Kapitel bietet eine philosophische Einführung in moderne geometrische Ansätze zur Mechanik; das vorliegende Kapitel ist als Beispiel für die Anwendung dieses Ansatzes auf ein philosophisches Problem gedacht. Das vorliegende Kapitel soll jedoch in sich geschlossen sein. Und es gibt in der Tat einen beträchtlichen Unterschied in der Gewichtung zwischen diesem Kapitel und dem von Butterfield: Letzteres beschränkt sich auf endlich-dimensionale Systeme und konzentriert sich auf die Hamiltonsche Seite der Dinge; das vorliegende Kapitel befasst sich in erster Linie mit Feldtheorien und konzentriert sich in viel stärkerem Maße auf den Lagrangeschen Ansatz.

REMARK 1 (Notation und Terminologie).

Elemente und Strukturen auf dem Raum der Lösungen einer Feldtheorie werden immer durch Großbuchstaben (griechisch oder lateinisch) gekennzeichnet, während Elemente und Strukturen auf dem Raum der Anfangsdaten einer Feldtheorie immer durch Kleinbuchstaben (griechisch oder lateinisch) gekennzeichnet sind. Fettschrift kennzeichnet Dreivektoren oder dreivektorwertige Funktionen. In diesem Kapitel ist eine Kurve offiziell eine Abbildung von Intervallen reeller Zahlen in einen Raum, der eine Mannigfaltigkeit oder eine milde Verallgemeinerung einer Mannigfaltigkeit ist – manchmal nenne ich eine Kurve zur Betonung redundant eine parametrisierte Kurve. Eine affin parametrisierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse solcher Kurven, in der zwei Kurven als äquivalent gelten, wenn sie das gleiche Bild haben und ihre Parametrisierung bis zur Wahl des Ursprungs übereinstimmt.8 Eine unparametrisierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse von Kurven unter der Äquivalenzbeziehung, in der Kurven als äquivalent gelten, wenn sie das gleiche Bild haben. Ich vermische manchmal eine Kurve und ihr Bild.

REMARK 2 (Possible Worlds Talk).

Nachfolgend, insbesondere in Abschnitt 7, spreche ich manchmal von Punkten des Lösungsraumes (Anfangsdaten) als Repräsentanten möglicher Welten (möglicher momentaner Zustände), die von der Theorie zugelassen werden, obwohl ich nicht vorgebe, mich hier mit feinkörnigen Interpretationsfragen zu beschäftigen. Diese Dinge sind nur grob und heuristisch gemeint. Der Gedanke ist, dass wir bei dem Versuch, eine Theorie zu verstehen, zum Teil auf der Suche nach einer klaren Formulierung der Theorie sind; und es ist vernünftig zu hoffen, dass, wenn eine Formulierung klar ist, es eine prima facie attraktive Interpretation der Theorie gibt, nach der es eine Bijektion zwischen dem Raum der Lösungen (Anfangsdaten) und dem Raum der möglichen Welten (mögliche momentane Zustände) gibt, die von der Theorie unter dieser Interpretation zugelassen werden. Damit soll nicht geleugnet werden, dass es Gründe geben kann, solche Interpretationen letztlich abzulehnen: Ein Leibnizianer könnte sich mit einer Standardformulierung der klassischen Mechanik begnügen, auch wenn das bedeutet, dass er die Darstellungsbeziehung zwischen Lösungen und möglichen Welten als viele-zu-eins betrachtet, weil Lösungen, die durch eine Zeitverschiebung verbunden sind, als der gleichen möglichen Welt entsprechend angesehen werden müssen.