1 INTRODUZIONE

Questo capitolo riguarda la rappresentazione del tempo e del cambiamento nelle teorie fisiche classiche (cioè non quantistiche). Uno dei principali obiettivi del capitolo è tentare di chiarire la natura e la portata del cosiddetto problema del tempo: un nodo di problemi tecnici e interpretativi che sembrano ostacolare i tentativi di quantizzare la relatività generale, e che hanno le loro radici nella covarianza generale di quella teoria.

L’approccio più naturale a queste questioni è attraverso la considerazione di casi più chiari. Così gran parte del capitolo è dedicata alla discussione della rappresentazione del tempo e del cambiamento in altre teorie meglio comprese, iniziando dai casi più semplici e procedendo attraverso una considerazione di casi che preparano, in un senso o nell’altro, alle caratteristiche della relatività generale che sono responsabili del problema del tempo.

Consentitemi di iniziare dicendo un po’ che tipo di cose ho in mente quando parlo della rappresentazione del tempo e del cambiamento nelle teorie fisiche, basando la discussione sul caso più trattabile di tutti, la fisica newtoniana.

Come questione perfettamente generale, molte domande e affermazioni sul contenuto di una teoria fisica ammettono due interpretazioni – come domande sulle caratteristiche strutturali delle soluzioni alle equazioni del moto della teoria, o come domande sulle caratteristiche strutturali di queste equazioni. Per esempio, da un lato il tempo appare come un aspetto degli spazi vitali in cui si svolge la fisica – cioè come un aspetto dello sfondo in cui sono collocate le soluzioni alle equazioni della teoria. Dall’altro, il tempo è rappresentato attraverso il suo ruolo nelle leggi della fisica – in particolare, nel suo ruolo nelle equazioni differenziali che codificano queste leggi. Quindi le domande e le affermazioni sulla natura del tempo nelle teorie fisiche ammetteranno due tipi di lettura.

Consideriamo, per esempio, l’affermazione che il tempo è omogeneo nella fisica newtoniana (o, come direbbe Newton, che il tempo scorre equamente). Ci sono due tipi di fatti a cui potremmo guardare come fondamento di questa affermazione.

Nell’ambiente newtoniano, questi due tipi di considerazioni si intrecciano bene e si sostengono a vicenda: c’è una consilienza tra le simmetrie delle leggi e le simmetrie dello spaziotempo. Ma in linea di principio, i due tipi di considerazioni non devono necessariamente portare allo stesso tipo di risposta: si potrebbe considerare un sistema nello spaziotempo newtoniano che è soggetto a forze dipendenti dal tempo; oppure si potrebbe impostare il problema newtoniano degli n-corpi in uno spaziotempo che presenta un istante preferito, ma per il resto ha la struttura dello spaziotempo newtoniano. E quando ci si allontana dall’ambiente familiare della fisica newtoniana, diventa ancora più importante distinguere i due approcci: nella relatività generale, le leggi hanno un enorme (anzi, infinito-dimensionale) gruppo di simmetrie mentre le soluzioni generiche non hanno simmetrie di sorta.

Nella discussione della rappresentazione del tempo e del cambiamento, questo capitolo si concentrerà sulle caratteristiche strutturali delle leggi delle teorie fisiche piuttosto che sulle caratteristiche di soluzioni particolari. Per enfatizzare questo punto, dirò che sono interessato alla struttura di questa o quella teoria come teoria dinamica.

Avvicinerò i miei argomenti attraverso gli approcci lagrangiano e hamiltoniano alle teorie classiche, due grandi quadri generali – e intimamente correlati – in cui tali argomenti sono naturalmente affrontati.4 Grosso modo, in ognuno di questi approcci il contenuto delle equazioni di una teoria è codificato in certe strutture su uno spazio di possibilità associato alla teoria.5 Nell’approccio lagrangiano lo spazio in questione è lo spazio delle soluzioni alle equazioni della teoria, che a fini euristici possiamo identificare con lo spazio dei mondi possibili ammessi dalla teoria.6 Dal lato hamiltoniano, lo spazio caratterizzato è lo spazio dei dati iniziali per le equazioni della teoria, che possiamo, nello stesso spirito, identificare con lo spazio dei possibili stati istantanei ammessi dalla teoria.

Nella meccanica newtoniana, il riflesso nel quadro lagrangiano dell’invarianza di traslazione temporale delle leggi è che lo spazio delle soluzioni è esso stesso invariante sotto le traslazioni temporali: dato un insieme di traiettorie di particelle nello spaziotempo che obbediscono alle leggi del moto di Newton, possiamo costruire l’insieme delle traiettorie di particelle che risultano se tutti gli eventi sono traslati nel tempo di una quantità t; quest’ultimo insieme è una soluzione (cioè, è permesso dalle leggi del moto) se e solo se il primo insieme lo è; inoltre, la mappa che ci porta da una soluzione alla sua traslazione temporale conserva la struttura sullo spazio delle soluzioni che codifica la dinamica della teoria. Nel quadro hamiltoniano, invece, l’invarianza temporale di traslazione delle leggi si riflette nell’esistenza di una mappa che invia un insieme di dati iniziali allo stato in cui evolverà tra t unità di tempo; di nuovo, questa mappa lascia invariata la struttura sullo spazio che codifica la dinamica della teoria. Così la simmetria temporale della dinamica della teoria si riflette sul lato lagrangiano da una nozione di traslazione temporale e sul lato hamiltoniano da una nozione di evoluzione temporale.

La rappresentazione del cambiamento nella fisica newtoniana assume anche forme diverse (ma strettamente correlate) all’interno dei quadri lagrangiano e hamiltoniano. Il cambiamento consiste nel fatto che un sistema ha proprietà diverse e incompatibili in tempi diversi. Vogliamo dire, per esempio, che c’è un cambiamento nelle proprietà osservabili di un sistema a due corpi se e solo se la distanza relativa tra le particelle è diversa in tempi diversi.

Approccio Hamiltoniano. Specificare lo stato dinamico istantaneo di un tale sistema è sufficiente per specificare la distanza relativa istantanea tra le particelle. Esiste quindi una funzione sullo spazio dei dati iniziali corrispondente a questa quantità. Una storia del sistema è una traiettoria attraverso lo spazio dei dati iniziali. Nel nostro semplice esempio, un cambiamento osservabile avviene durante una data storia se e solo se la funzione corrispondente alla distanza relativa tra le particelle assume valori diversi in punti diversi della traiettoria in questione. Più in generale, in qualsiasi sistema newtoniano, qualsiasi quantità di interesse fisico (osservabile o meno) è rappresentata da una funzione sullo spazio dei dati iniziali, e una traiettoria in questo spazio rappresenta tali quantità come variabili se le funzioni corrispondenti assumono valori diversi in punti diversi della traiettoria.

Approccio lagrangiano. Chiaramente, nessuna funzione sullo spazio delle soluzioni può rappresentare una quantità mutevole nello stesso modo diretto che le funzioni sullo spazio dei dati iniziali. Ma per ogni t, esiste una funzione sullo spazio delle soluzioni del nostro problema a due corpi che assegna ad ogni soluzione la distanza relativa tra le particelle al tempo t secondo quella soluzione. Lasciando variare t, costruiamo una famiglia di funzioni ad un parametro sullo spazio delle soluzioni. Una soluzione delle equazioni del moto rappresenta la distanza relativa tra le particelle come mutevole se e solo se diversi membri di questa famiglia di funzioni ad un parametro assumono valori diversi quando sono valutati sulla soluzione data. E così via più in generale: qualsiasi grandezza fisica mutevole corrisponde a una tale famiglia di funzioni a un parametro sullo spazio delle soluzioni, e il cambiamento è inteso come nel semplice esempio dei due corpi.

Così è per il tipo di cose che ho in mente quando parlo della rappresentazione del tempo e del cambiamento in una teoria fisica. Prima di delineare il percorso che questo capitolo prende nel discutere questi argomenti, sarà forse utile dire qualcosa sul suo obiettivo finale – il chiarimento della natura del cosiddetto problema del tempo. Le discussioni sul problema del tempo si concentrano tipicamente sulle versioni hamiltoniane della relatività generale, in cui l’attenzione è sullo spazio delle possibili geometrie istantanee (metriche e seconde forme fondamentali sulle superfici di Cauchy). Questo è un po’ spiacevole, poiché tali approcci richiedono fin dall’inizio una divisione dello spaziotempo in una famiglia di ipersuperfici simili allo spazio – il che sembra essere contro lo spirito dell’usuale comprensione della covarianza generale della teoria. Alla luce di questo fatto, c’è da preoccuparsi che alcuni aspetti del problema del tempo come viene presentato di solito siano conseguenze di questo modo di procedere piuttosto scomodo. Io prendo una strada un po’ diversa, ancorando sempre la mia discussione all’approccio lagrangiano, che prende come fondamentali le storie complete dei sistemi piuttosto che gli stati istantanei.

Il punto di vista sviluppato di seguito è che, approssimativamente, il nucleo del problema del tempo è che nella relatività generale, quando è intesa dinamicamente, non c’è modo di vedere l’evoluzione o la traslazione del tempo come simmetrie della teoria e, correlativamente, non c’è modo naturale di modellare il cambiamento attraverso funzioni sugli spazi che sorgono all’interno degli approcci lagrangiano e hamiltoniano.7 Questo segna un aspetto in cui la relatività generale, così concepita, è molto diversa dalle precedenti teorie dall’aspetto fondamentale.

Il problema del tempo può sembrare – non molto pressante. Per essere sicuri, ci sono degli enigmi qui. Perché la relatività generale dovrebbe differire in questo modo dai suoi predecessori? Nei predecessori della relatività generale, la rappresentazione del tempo e la rappresentazione del cambiamento sono legate insieme in un pacchetto molto ordinato – come appare la sostituzione relativistica generale di questo pacchetto? Queste sono domande interessanti. Ma naturalmente nessuno dovrebbe aspettarsi che il tempo sia rappresentato nella relatività generale come nei suoi predecessori – il fatto che essa presenti un’immagine completamente nuova del tempo e dello spazio è una delle glorie della teoria. E si potrebbe anche pensare: poiché la struttura dello spaziotempo varia da una soluzione all’altra della relatività generale, è sicuramente più appropriato guardare la rappresentazione del tempo in questa o quella soluzione fisicamente realistica, piuttosto che nelle equazioni della teoria, se vogliamo capire cosa la teoria ci sta dicendo sulla natura del tempo nel nostro mondo.

Il problema del tempo assume un aspetto più pressante, tuttavia, quando si considera la quantizzazione della relatività generale (o di qualsiasi altra teoria che sia generalmente covariante nel senso rilevante). Il progetto di costruzione di teorie successive focalizza naturalmente la nostra attenzione sulle caratteristiche strutturali delle teorie a portata di mano – nella costruzione di successori, si tratta di scommettere su quali caratteristiche delle teorie attuali continueranno a vivere (forse in una nuova forma), e quali saranno lasciate indietro. E le tecniche note di quantizzazione richiedono come input non solo equazioni differenziali, ma teorie in forma hamiltoniana o lagrangiana. Così, per coloro che sono interessati a quantizzare la relatività generale, le domande sulla struttura della teoria in quanto teoria dinamica incombono naturalmente. E in mancanza di soluzioni agli enigmi di cui sopra, ci si aspetta difficoltà concettuali nel formulare (o nell’estrarre predizioni da) qualsiasi quantizzazione della relatività generale. Quindi, da questo punto di vista, il problema del tempo è in effetti piuttosto pressante.

Questo capitolo prende una lunga strada verso il problema del tempo. Comincio nella sezione 2 con la più breve delle introduzioni alla meccanica hamiltoniana e lagrangiana, per motivare parte di ciò che segue. Nella sezione 3, abbozzo alcuni importanti concetti e risultati della geometria simplettica, il campo della matematica che sta alla base della meccanica classica. I concetti qui introdotti sono cruciali per ciò che segue: per le teorie ben educate, lo spazio delle soluzioni (sul lato lagrangiano) e lo spazio dei dati iniziali (sul lato hamiltoniano) hanno entrambi strutture simplettiche. E vedremo che vari spazi simplettici (o quasi simplettici) sorgono anche quando ci si allontana dal caso ideale. Nella sezione 4, abbozzo il quadro molto potente della moderna meccanica lagrangiana, con il suo apparato di leggi di conservazione locali.

Nella sezione 5, abbozzo le immagini lagrangiane e hamiltoniane per teorie idealmente ben educate che soddisfano le seguenti condizioni: (i) la geometria dello spaziotempo di fondo ammette un gruppo di traslazioni temporali e la lagrangiana della teoria è invariante (in un senso appropriato) sotto l’azione di questo gruppo; (ii) specificare i dati iniziali per le equazioni della teoria è sufficiente per determinare una singola soluzione massima; (iii) questa soluzione massima è definita per tutti i valori del parametro tempo. Quando queste condizioni sono soddisfatte, troviamo che esiste un gruppo di simmetrie di traslazione temporale che opera sullo spazio delle soluzioni dal lato lagrangiano, mentre dal lato hamiltoniano esiste un gruppo che implementa l’evoluzione temporale sullo spazio dei dati iniziali. Questi due spazi sono isomorfi, e le due azioni di gruppo si intrecciano in modo soddisfacente. Si è in grado di dare un resoconto semplice e accattivante del modo in cui il cambiamento è rappresentato su uno di questi due spazi fondamentali.

Nella sezione 6, passo alle complicazioni che devono essere introdotte nel quadro quando si abbandona una qualsiasi delle condizioni (i)-(iii) del paragrafo precedente. Infine, nella sezione 7, affronto la rappresentazione del tempo e del cambiamento nella relatività generale. Questo porta direttamente al problema del tempo.

Come risulta chiaro da questo schema, gran parte del capitolo è dedicata all’esposizione di materiale tecnico. Per mantenere una lunghezza ragionevole, ho dovuto presumere che il lettore arrivi a questo capitolo con un bel po’ di background tecnico. Ho cercato di scrivere per un lettore ideale che ha precedentemente studiato la relatività generale o la teoria di gauge, e quindi si sente a suo agio con i concetti di base, i risultati e le costruzioni della geometria differenziale (anche se in alcuni punti strategici ho incluso discussioni destinate a rinfrescare la memoria di tali lettori).

Questo capitolo è fondato sul moderno approccio geometrico alla meccanica lagrangiana che è presentato in modo sommario nella sezione 4. Questo approccio, sviluppato relativamente di recente dai matematici, fornisce un quadro altamente astratto per pensare alle teorie fisiche piuttosto che un trattamento completamente rigoroso di qualsiasi teoria data. Esiste a livello formale, differenziale-geometrico: l’attenzione si concentra sulla struttura geometrica di vari spazi e sul contenuto geometrico di equazioni e costruzioni; i dettagli analitici funzionali sono tenuti in sospeso. Gran parte del materiale abbozzato in altre sezioni funziona a questo stesso livello.

Nel contenuto, questo capitolo si sovrappone un po’ a , , e . Il capitolo di Butterfield fornisce un’introduzione filosofica ai moderni approcci geometrici alla meccanica; il presente capitolo è inteso come un esempio dell’applicazione di questo approccio a un problema filosofico. Il presente capitolo è, tuttavia, destinato ad essere autoconclusivo. E c’è in effetti una considerevole differenza di enfasi tra questo capitolo e quello di Butterfield: quest’ultimo è limitato ai sistemi finiti-dimensionali, e si concentra sul lato hamiltoniano delle cose; il presente capitolo riguarda principalmente le teorie di campo, e si concentra in misura molto maggiore sull’approccio lagrangiano.

MARK 1 (Notazione e terminologia).

Elementi e strutture dello spazio delle soluzioni di una teoria di campo sono sempre indicati con lettere maiuscole (greche o latine), mentre elementi e strutture dello spazio dei dati iniziali di una teoria di campo sono sempre indicati con lettere minuscole (greche o latine). Il grassetto indica i tre vettori o le funzioni trivalenti. In questo capitolo, una curva è ufficialmente una mappa da intervalli di numeri reali in uno spazio che è un manifold o una generalizzazione leggera di un manifold – a volte per enfasi chiamo ridondantemente una curva una curva parametrizzata. Una curva parametrizzata è una classe di equivalenza di tali curve, dove due curve si considerano equivalenti se hanno la stessa immagine e la loro parametrizzazione concorda fino a una scelta dell’origine.8 Una curva non parametrizzata è una classe di equivalenza di curve, sotto la relazione di equivalenza dove le curve si considerano equivalenti se hanno la stessa immagine. A volte confondo una curva e la sua immagine.

MARK 2 (Possible Worlds Talk).

Di seguito, specialmente nella sezione 7, parlo a volte di punti dello spazio delle soluzioni (dati iniziali) come rappresentanti mondi possibili (possibili stati istantanei) permessi dalla teoria, anche se non pretendo di essere coinvolto in questioni di interpretazione fine qui. Questo genere di cose è inteso solo in modo approssimativo ed euristico. L’idea è che nel cercare di capire una teoria, siamo in parte impegnati nella ricerca di una formulazione perspicua della teoria; ed è ragionevole sperare che se una formulazione è perspicua, allora esisterà un’interpretazione prima facie attraente della teoria secondo la quale esiste una biiezione tra lo spazio delle soluzioni (dati iniziali) e lo spazio dei mondi possibili (possibili stati istantanei) ammessi dalla teoria sotto tale interpretazione. Questo non significa negare che ci possano essere ragioni per rifiutare alla fine tali interpretazioni: un leibniziano potrebbe accontentarsi di una formulazione standard della meccanica classica, anche se ciò significa vedere la relazione di rappresentazione tra soluzioni e mondi possibili come molti a uno in virtù del fatto che le soluzioni legate da una traslazione temporale devono essere viste come corrispondenti allo stesso mondo possibile.