1 INLEIDING

Dit hoofdstuk gaat over de voorstelling van tijd en verandering in klassieke (d.w.z. niet-kwantum) natuurkundige theorieën. Een van de hoofddoelen van het hoofdstuk is te proberen de aard en de omvang te verduidelijken van het zogenaamde tijdsprobleem: een kluwen van technische en interpretatieve problemen die in de weg lijken te staan van pogingen om de algemene relativiteit te kwantiseren, en die hun wortels hebben in de algemene covariantie van die theorie.

De meest natuurlijke benadering van deze vragen is via beschouwing van meer duidelijke gevallen. Een groot deel van het hoofdstuk is dan ook gewijd aan een bespreking van de voorstelling van tijd en verandering in andere, beter begrepen theorieën, te beginnen met de meest eenvoudige gevallen en verder te gaan met een beschouwing van gevallen die in zekere zin voorbereiden op de kenmerken van de algemene relativiteit die verantwoordelijk zijn voor het probleem van de tijd.

Laat ik beginnen met iets te zeggen over wat ik in gedachten heb als ik het heb over de representatie van tijd en verandering in natuurkundige theorieën, waarbij ik de discussie grondvest op het meest tractabele geval van allemaal, de Newtoniaanse natuurkunde.

In het algemeen kunnen veel vragen en beweringen over de inhoud van een natuurkundige theorie op twee manieren worden opgevat – als vragen over structurele kenmerken van oplossingen voor de bewegingsvergelijkingen van de theorie, of als vragen over structurele kenmerken van deze vergelijkingen. Enerzijds verschijnt tijd bijvoorbeeld als een aspect van de ruimtetijden waarin de fysica zich ontvouwt – dat wil zeggen als een aspect van de achtergrond waarin de oplossingen van de vergelijkingen van de theorie zich bevinden. Anderzijds wordt de tijd voorgesteld via zijn rol in de wetten van de fysica – in het bijzonder via zijn rol in de differentiaalvergelijkingen die deze wetten coderen. Vragen en beweringen over de aard van de tijd in natuurkundige theorieën kunnen dus op twee manieren worden gelezen.

Zie bijvoorbeeld de bewering dat de tijd homogeen is in de Newtoniaanse natuurkunde (of, zoals Newton het zou formuleren, dat de tijd gelijkmatig verloopt). Er zijn twee soorten feiten waarop we deze bewering kunnen baseren.

In de Newtoniaanse setting sluiten deze twee soorten overwegingen mooi op elkaar aan en bieden ze wederzijdse ondersteuning: er is een overeenstemming tussen de symmetrieën van de wetten en de symmetrieën van de ruimtetijd. Maar in principe hoeven de twee soorten overwegingen niet tot hetzelfde soort antwoord te leiden: men zou een systeem in de Newtonse ruimtetijd kunnen beschouwen dat onderhevig is aan tijdsafhankelijke krachten; of men zou het Newtonse n-lichaamprobleem kunnen plaatsen in een ruimtetijd die een voorkeurstijdstip heeft, maar verder de structuur van de Newtonse ruimtetijd heeft. En als men zich verwijdert van de vertrouwde setting van de Newtonse natuurkunde, wordt het nog belangrijker om de twee benaderingen te onderscheiden: in de algemene relativiteit hebben de wetten een enorme (inderdaad oneindig-dimensionale) groep symmetrieën, terwijl generieke oplossingen geen enkele symmetrie hebben.

Bij de bespreking van de voorstelling van tijd en verandering zal dit hoofdstuk zich richten op structurele kenmerken van de wetten van natuurkundige theorieën en niet zozeer op kenmerken van specifieke oplossingen. Om dit punt te benadrukken, zal ik zeggen dat ik geïnteresseerd ben in de structuur van deze of gene theorie als een dynamische theorie.

Ik zal mijn onderwerpen benaderen via de Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse benaderingen van klassieke theorieën, twee grote overkoepelende – en nauw verwante – raamwerken waarin dergelijke onderwerpen op natuurlijke wijze aan de orde komen.4 Grofweg wordt in elk van deze benaderingen de inhoud van de vergelijkingen van een theorie gecodeerd in bepaalde structuren op een ruimte van mogelijkheden die met de theorie geassocieerd is.5 In de Lagrangiaanse benadering is de gekenmerkte ruimte de ruimte van oplossingen voor de vergelijkingen van de theorie, die we voor heuristische doeleinden kunnen identificeren met de ruimte van mogelijke werelden die door de theorie worden toegestaan.6 Aan Hamiltoniaanse zijde is de ruimte van de begingegevens voor de vergelijkingen van de theorie, die wij in dezelfde geest kunnen identificeren met de ruimte van de mogelijke ogenblikkelijke toestanden die door de theorie worden toegestaan.

In de Newtoniaanse mechanica is de weerspiegeling binnen het Lagrangiaans kader van de tijdvertalingsinvariantie van de wetten dat de ruimte van oplossingen zelf invariant is onder tijdvertalingen: gegeven een verzameling deeltjesbanen in de ruimtetijd die aan de bewegingswetten van Newton voldoen, kunnen we de verzameling deeltjesbanen construeren die het resultaat zijn als alle gebeurtenissen in de tijd worden vertaald met hoeveelheid t; de laatste verzameling is een oplossing (d.w.z, is toegestaan door de bewegingswetten) als en slechts als de eerste reeks dat is; bovendien bewaart de kaart die ons van een oplossing naar haar tijdvertaling voert, de structuur op de ruimte van oplossingen die de dynamica van de theorie codeert. Binnen het Hamiltoniaanse raamwerk daarentegen wordt de tijdvertalingsinvariantie van de wetten weerspiegeld door het bestaan van een kaart die een verzameling initiële gegevens naar de toestand stuurt waarin deze in t tijdseenheden zal evolueren; ook deze kaart laat de structuur op de ruimte die de dynamica van de theorie codeert invariant. De temporele symmetrie van de dynamica van de theorie wordt dus aan Lagrangiaanse zijde weerspiegeld door een begrip van tijd translatie en aan Hamiltoniaanse zijde door een begrip van tijd evolutie.

De voorstelling van verandering in de Newtoniaanse natuurkunde neemt ook verschillende (maar nauw verwante) vormen aan binnen het Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse raamwerk. Verandering bestaat erin dat een systeem op verschillende tijdstippen verschillende en onverenigbare eigenschappen heeft. Wij willen bijvoorbeeld zeggen dat er een verandering is in de waarneembare eigenschappen van een tweelichamensysteem als en slechts als de relatieve afstand tussen de deeltjes op verschillende tijdstippen verschillend is.

Hamiltoniaanse Benadering. Het specificeren van de momentane dynamische toestand van zo’n systeem volstaat om de momentane relatieve afstand tussen de deeltjes te specificeren. Er is dus een functie op de ruimte van begingegevens die met deze grootheid correspondeert. Een geschiedenis van het systeem is een baan door de ruimte van initiële gegevens. In ons eenvoudige voorbeeld treedt een waarneembare verandering op tijdens een gegeven geschiedenis als en slechts als de functie die correspondeert met de relatieve afstand tussen de deeltjes verschillende waarden aanneemt op verschillende punten van de baan in kwestie. Meer in het algemeen wordt in elk Newtoniaans systeem elke grootheid van fysisch belang (waarneembaar of niet) voorgesteld door een functie op de ruimte van de begingegevens, en een baan in deze ruimte stelt zulke grootheden voor als veranderend als de overeenkomstige functies op verschillende punten op de baan verschillende waarden aannemen.

Lagrangiaanse Benadering. Het is duidelijk dat geen enkele functie op de oplossingsruimte een veranderlijke grootheid kan voorstellen op dezelfde directe wijze als functies op de ruimte van de begingegevens dat kunnen. Maar voor elke t is er een functie op de oplossingsruimte van ons tweelichamenprobleem die aan elke oplossing de relatieve afstand tussen de deeltjes op tijdstip t volgens die oplossing toekent. Door t te laten variëren, construeren we een familie van functies van één parameter op de ruimte van oplossingen. Een oplossing van de bewegingsvergelijkingen stelt voor dat de relatieve afstand tussen de deeltjes verandert als en slechts als verschillende leden van deze éénparameterfamilie van functies verschillende waarden aannemen bij evaluatie op de gegeven oplossing. En zo verder in het algemeen: elke veranderlijke fysische grootheid komt overeen met zo’n familie van één parameter van functies op de ruimte van oplossingen, en verandering wordt opgevat zoals in het eenvoudige voorbeeld van twee lichamen.

Tot zover het soort dingen dat ik in gedachten heb als ik spreek over de voorstelling van tijd en verandering in een fysische theorie. Alvorens de weg te schetsen die dit hoofdstuk inslaat bij de bespreking van deze onderwerpen, is het misschien nuttig iets te zeggen over het uiteindelijke doel ervan – de opheldering van de aard van het zogenaamde probleem van de tijd. Besprekingen van het tijdsprobleem richten zich meestal op Hamiltoniaanse versies van de algemene relativiteit, waarbij de nadruk ligt op de ruimte van mogelijke momentane geometrieën (metriek en tweede fundamentaalvormen op Cauchy-oppervlakken). Dit is enigszins ongelukkig, want dergelijke benaderingen vereisen van meet af aan een verdeling van ruimtetijd in een familie van ruimtelike hyperoppervlakken – hetgeen tegen de geest lijkt te zijn van het gebruikelijke begrip van de algemene covariantie van de theorie. In het licht van dit feit is er ruimte voor bezorgdheid dat sommige aspecten van het probleem van de tijd zoals gewoonlijk gepresenteerd, gevolgen zijn van deze nogal onhandige manier van werken. Ik volg een enigszins andere weg, waarbij ik mijn discussie steeds veranker in de Lagrangiaanse benadering, die als fundament neemt complete geschiedenissen van systemen in plaats van momentane toestanden.

De hieronder ontwikkelde opvatting is dat, ruwweg gesproken, de kern van het probleem van de tijd is dat er in de algemene relativiteit, wanneer dynamisch opgevat, geen manier is om tijdsevolutie of tijd translatie te zien als symmetrieën van de theorie en, daarmee samenhangend, dat er geen natuurlijke manier is om verandering te modelleren via functies op de ruimten die ontstaan binnen de Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse benaderingen.7 Dit markeert een opzicht waarin de algemene relativiteit, zo opgevat, sterk verschilt van voorgaande fundamenteel-ogende theorieën.

Het probleem van de tijd klinkt misschien – niet erg dringend. Om zeker te zijn, er zijn puzzels hier. Waarom zou de algemene relativiteit op deze manier verschillen van haar voorgangers? In de voorgangers van de algemene relativiteit zijn de voorstelling van tijd en de voorstelling van verandering samengebonden in een zeer keurig pakket – hoe ziet de algemene relativistische vervanging van dit pakket eruit? Dit zijn interessante vragen. Maar dan mag natuurlijk niemand verwachten dat de tijd in de algemene relativiteit wordt voorgesteld zoals in haar voorgangers – dat zij een volkomen nieuw beeld van tijd en ruimte geeft is een van de glorieën van de theorie. En men zou ook kunnen denken: aangezien de structuur van de ruimtetijd in de algemene relativiteit van oplossing tot oplossing verschilt, is het zeker beter om te kijken naar de voorstelling van de tijd in deze of gene fysisch realistische oplossing, in plaats van in de vergelijkingen van de theorie, als we willen begrijpen wat de theorie ons vertelt over de aard van de tijd in onze wereld.

Het probleem van de tijd neemt echter een dringender aspect aan wanneer men de kwantisering van de algemene relativiteit (of van elke andere theorie die in het algemeen covariant is in de relevante zin) beschouwt. Het project van het construeren van opvolgingstheorieën concentreert natuurlijk onze aandacht op structurele kenmerken van de onderhavige theorieën – bij het construeren van opvolgers is men bezig weddenschappen af te sluiten over welke dergelijke kenmerken van huidige theorieën zullen blijven voortbestaan (misschien in een nieuwe vorm), en welke zullen worden achtergelaten. En de bekende kwantiseringstechnieken vereisen als invoer niet alleen differentiaalvergelijkingen, maar ook theorieën in Hamiltoniaanse of Lagrangiaanse vorm. Dus voor degenen die geïnteresseerd zijn in het kwantiseren van algemene relativiteit, doemen natuurlijk grote vragen op over de structuur van de theorie qua dynamische theorie. En bij gebrek aan oplossingen voor de bovenvermelde puzzels verwacht men conceptuele moeilijkheden bij het formuleren van (of het afleiden van voorspellingen uit) een kwantisering van de algemene relativiteit. Dus vanuit dit perspectief is het probleem van de tijd in feite vrij nijpend.

Dit hoofdstuk neemt een lange weg naar het probleem van de tijd. Ik begin in sectie 2 met de kortste inleiding tot de Hamiltoniaanse en Lagrangiaanse mechanica, bij wijze van motivering voor een deel van wat volgt. In sectie 3 schets ik enkele belangrijke begrippen en resultaten van de symplectische meetkunde, het gebied van de wiskunde dat ten grondslag ligt aan de klassieke mechanica. De hier geïntroduceerde concepten zijn cruciaal voor wat volgt: voor goed gedragen theorieën hebben de ruimte van de oplossingen (aan de Lagrangiaanse kant) en de ruimte van de begingegevens (aan de Hamiltoniaanse kant) beide symplectische structuren. En we zullen zien dat verschillende symplectische (of bijna-symplectische) ruimten ontstaan, zelfs als men afwijkt van het ideale geval. In sectie 4 schets ik het zeer krachtige raamwerk van de moderne Lagrangiaanse mechanica, met zijn apparaat van lokale behoudswetten.

In sectie 5 schets ik de Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse beelden voor ideaal goed gedragen theorieën die aan de volgende voorwaarden voldoen: (i) de achtergrondruimtetijd geometrie laat een groep van tijdvertalingen toe en de Lagrangiaan van de theorie is invariant (in een geschikte zin) onder de actie van deze groep; (ii) het specificeren van begingegevens voor de vergelijkingen van de theorie volstaat om een enkele maximale oplossing te bepalen; (iii) deze maximale oplossing is gedefinieerd voor alle waarden van de tijdparameter. Wanneer deze voorwaarden vervuld zijn, vinden we dat er aan de Lagrangiaanse kant een groep tijdsverschuivingssymmetrieën is die werkt op de ruimte van oplossingen, terwijl er aan de Hamiltoniaanse kant een groep is die de tijdsevolutie uitvoert op de ruimte van de begingegevens. Deze twee ruimten zijn isomorf, en de twee groepsacties lopen op bevredigende wijze in elkaar over. Men is in staat een eenvoudige en aantrekkelijke verklaring te geven van de manier waarop verandering wordt voorgesteld op elk van deze twee fundamentele ruimten.

In sectie 6 ga ik in op de complicaties die in het beeld moeten worden gebracht wanneer men een van de voorwaarden (i)-(iii) van de vorige paragraaf laat vallen. Tenslotte behandel ik in sectie 7 de voorstelling van tijd en verandering in de algemene relativiteit. Dit leidt rechtstreeks tot het probleem van de tijd.

Zoals uit deze schets blijkt, is een groot deel van het hoofdstuk gewijd aan uiteenzetting van technisch materiaal. Om de lengte redelijk te houden, heb ik moeten veronderstellen dat de lezer met een behoorlijke technische achtergrond naar dit hoofdstuk komt. Ik heb geprobeerd te schrijven voor een ideale lezer die eerder algemene relativiteit of ijkingstheorie heeft bestudeerd, en zich dus vertrouwd voelt met de basisbegrippen, resultaten, en constructies van de differentiaalmeetkunde (hoewel ik op een paar strategische punten discussie heb opgenomen bedoeld om het geheugen van zulke lezers op te frissen).

Dit hoofdstuk is gebaseerd op de moderne meetkundige benadering van Lagrangiaanse mechanica die in de kaalste schets in sectie 4 wordt gepresenteerd. Deze benadering, die betrekkelijk recent door wiskundigen is ontwikkeld, biedt een zeer abstract kader voor het denken over natuurkundige theorieën, eerder dan een volledig rigoureuze behandeling van een bepaalde theorie. Zij bestaat op het formele, differentiaal-geometrische niveau: de nadruk ligt op de meetkundige structuur van verschillende ruimten en op de meetkundige inhoud van vergelijkingen en constructies; functioneel-analytische details blijven buiten beschouwing. Veel van het in andere hoofdstukken geschetste materiaal functioneert op ditzelfde niveau.

In inhoudelijk opzicht overlapt dit hoofdstuk enigszins met , en . Butterfields hoofdstuk geeft een filosofische inleiding op moderne meetkundige benaderingen van de mechanica; het onderhavige hoofdstuk is bedoeld als voorbeeld van de toepassing van deze benadering op een filosofisch probleem. Dit hoofdstuk is echter bedoeld om op zichzelf te staan. En er is in feite een aanzienlijk verschil in nadruk tussen dit hoofdstuk en dat van Butterfield: het laatste beperkt zich tot eindig-dimensionale systemen, en concentreert zich op de Hamiltoniaanse kant van de zaak; het onderhavige hoofdstuk houdt zich voornamelijk bezig met veldentheorieën, en concentreert zich in veel sterkere mate op de Lagrangiaanse benadering.

Notatie en terminologie).

Elementen en structuren op de oplossingsruimte van een veldtheorie worden altijd met hoofdletters (Grieks of Latijn) aangeduid, terwijl elementen en structuren op de beginruimte van een veldtheorie altijd met kleine letters (Grieks of Latijn) worden aangeduid. Vetgedrukte aanduidingen geven drie-vectoren of drie-vector-gewaardeerde functies aan. In dit hoofdstuk is een kromme officieel een kaart van intervallen van reële getallen naar een ruimte die een manifold of een milde veralgemening van een manifold is – soms noem ik een kromme voor de nadruk redundant een geparametriseerde kromme. Een affinisch geparametriseerde kromme is een equivalentieklasse van dergelijke krommen, waarbij twee krommen als equivalent gelden indien zij hetzelfde beeld hebben en hun parametrisering overeenstemt tot een keuze van oorsprong.8 Een niet-geparametriseerde kromme is een equivalentieklasse van krommen, onder de equivalentierelatie waarbij krommen als equivalent gelden indien zij hetzelfde beeld hebben. Ik verwar soms een kromme en zijn afbeelding.

REMARANT 2 (Mogelijke werelden).

Hieronder, vooral in sectie 7, spreek ik soms van punten van de ruimte van oplossingen (begindata) als representanten van mogelijke werelden (mogelijke ogenblikkelijke toestanden) die door de theorie zijn toegestaan, ook al pretendeer ik hier niet me bezig te houden met fijnkorrelige zaken van interpretatie. Dit soort zaken is slechts ruw en heuristisch bedoeld. Het idee is dat wij, wanneer wij een theorie proberen te begrijpen, ten dele op zoek zijn naar een duidelijke formulering van de theorie; en het is redelijk te hopen dat, als een formulering duidelijk is, er een prima facie aantrekkelijke interpretatie van de theorie bestaat volgens welke er een bijectie bestaat tussen de ruimte van oplossingen (begingegevens) en de ruimte van mogelijke werelden (mogelijke ogenblikkelijke toestanden) die door de theorie onder die interpretatie worden toegelaten. Dit wil niet zeggen dat er geen redenen kunnen zijn om dergelijke interpretaties uiteindelijk te verwerpen: een Leibnizean zou genoegen kunnen nemen met een standaardformulering van de klassieke mechanica, ook al betekent dit dat de representatierelatie tussen oplossingen en mogelijke werelden als veel-op-één moet worden beschouwd omdat oplossingen die door een tijdvertaling met elkaar in verband worden gebracht, moeten worden beschouwd als overeenstemmend met dezelfde mogelijke wereld.