MILLENNIUM PRIZE SERIES: De Millennium Prize Problems zijn zeven wiskundeproblemen die in 2000 door het Clay Mathematics Institute zijn opgesteld. Ze zijn niet gemakkelijk – een correcte oplossing van een ervan levert het instituut een prijs van 1.000.000 dollar op.

De Russische wiskundige Grigori Perelman kreeg de prijs op 18 maart vorig jaar voor het oplossen van een van de problemen, de Poincaré conjectuur – tot nu toe het enige probleem dat is opgelost. Beroemd genoeg wees hij de Millenniumprijs van $1.000.000 af.

De komende weken zal elk van deze problemen worden belicht door deskundigen van de instellingen die lid zijn van het Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).

Hier legt professor Arun Ram het Hodge-conjectuur uit. Veel plezier.

Als men de wiskunde grofweg in tweeën zou delen, dan zouden dat zijn: meetinstrumenten en herkenningsinstrumenten.

Om een analogie te gebruiken: meetinstrumenten zijn de technologieën voor het verzamelen van gegevens over een object, het proces van “het maken van een wazige foto”. Hulpmiddelen voor herkenning houden zich bezig met het volgende: als je een stapel gegevens of een wazige foto krijgt, hoe kun je dan uit de gegevens het object herkennen waarvan die afkomstig is?

De Hodge Conjecture – een groot onopgelost probleem in de algebraïsche meetkunde – houdt zich bezig met herkenning.

William Vallance Douglas Hodge was een professor in Cambridge die in de jaren veertig werkte aan de ontwikkeling van een verfijnde versie van de cohomologie – hulpmiddelen voor het meten van stroming en flux over grenzen van oppervlakken (bijvoorbeeld vloeistofstroming over membranen).

De klassieke versies van cohomologie worden gebruikt voor het begrijpen van de stroming en verspreiding van elektriciteit en magnetisme (bijvoorbeeld de vergelijkingen van Maxwell, die beschrijven hoe elektrische ladingen en stromen fungeren als oorsprong voor elektrische en magnetische velden). Deze werden door Hodge verfijnd in wat nu de “Hodge decompositie van cohomologie” wordt genoemd.

Hodge erkende dat de feitelijke metingen van stroming over gebieden altijd bijdragen aan een bepaald deel van de Hodge decompositie, bekend als het (p,p) deel. Hij vermoedde dat telkens wanneer de gegevens een bijdrage vertonen aan het (p,p) deel van de Hodge-ontleding, de metingen afkomstig kunnen zijn van een realistisch scenario van een systeem van flux en verandering over een regio.

Of, om dit als analogie te stellen, men zou kunnen zeggen dat Hodge een criterium heeft gevonden om te testen op frauduleuze gegevens.

Als Hodge’s test positief terugkomt, kun je er zeker van zijn dat de gegevens frauduleus zijn. De vraag in het Hodge vermoeden is of er frauduleuze gegevens zijn die de test van Hodge niet zal ontdekken. Tot nu toe lijkt de test van Hodge te werken.

Maar we hebben nog niet goed genoeg begrepen waarom het werkt, en dus staat de mogelijkheid open dat er een manier zou kunnen zijn om Hodge’s veiligheidsschema te omzeilen.

Hodge deed zijn vermoeden in 1950, en veel van de leiders in de ontwikkeling van de meetkunde hebben aan dit fundamentele herkenningsprobleem gewerkt. Het probleem zelf heeft vele andere verfijnde technieken gestimuleerd voor het meten van stroming, flux en dispersie.

Tate’s vermoeden uit 1963 is een ander soortgelijk herkenningsvraagstuk dat voortkomt uit een andere meettechniek, de l-adische cohomologie ontwikkeld door Alexander Grothendieck.

Het sterkste bewijs ten gunste van het Hodge vermoeden is een resultaat uit 1995 van Cattani, Deligne & Kaplan dat bestudeert hoe de Hodge decompositie zich gedraagt als een regio muteert.

Klassieke cohomologiemetingen worden niet beïnvloed door kleine mutaties, maar de Hodge decompositie registreert wel mutaties. De studie van de Hodge-decompositie over mutaties heen verschaft een groot inzicht in de patronen in de gegevens die bij echte metingen moeten voorkomen.

In de jaren zestig begon Grothendieck met een krachtige theorie die het gebruikelijke begrip “regio” veralgemeende tot “virtuele regio’s” (de theorie van de motieven waarop men “virtuele temperaturen” en “virtuele magnetische velden” zou kunnen meten.

In vage zin probeert de theorie van de motieven het probleem aan te vallen door te proberen te denken als een hacker. De “Standaardconjecturen” van Grothendieck zijn verregaande generalisaties van de Hodge-conjectuur, die proberen te verklaren welke virtuele gebieden niet te onderscheiden zijn van realistische scenario’s.

De vraag in de Hodge conjectuur heeft de ontwikkeling gestimuleerd van revolutionaire instrumenten en technieken voor het meten en analyseren van gegevens over regio’s. Deze instrumenten waren en zijn nog steeds van fundamenteel belang voor de moderne ontwikkeling.

Stelt u zich eens voor dat u probeert een mobiele telefoon te bouwen zonder dat u weet hoe elektriciteit en magnetisme gemeten, geanalyseerd en beheerst moeten worden. Of stel je voor dat je een milieu probeert te onderhouden zonder een manier om de verspreiding van giftige stoffen over regio’s en in waterwegen te meten, te analyseren en op te sporen.

Natuurlijk maakt de prikkelende intrige rond herkennings- en opsporingsproblemen ze spannend. Grote geesten worden aangetrokken en produceren grote vooruitgang in een poging om te begrijpen wat maakt het allemaal werkt.

Men zou, heel redelijk, kunnen beweren dat hoe langer het Hodge-vermoeden een onopgelost probleem blijft, hoe meer goed het zal doen voor de mensheid, door aan te zetten tot meer en meer verfijnde meet- en analysetechnieken en door de ontwikkeling te stimuleren van betere en betere methoden om objecten uit de gegevens te herkennen.

Het Clay Mathematics Institute was zo verstandig om de Hodge conjecture aan te wijzen als een probleem dat de capaciteit heeft om uitgebreide ontwikkeling van nieuwe methoden en technologieën te stimuleren en het op te nemen als een van de Millennium problemen.

Dit is het tweede deel van de Millennium Prijs Serie. Om de andere delen te lezen, volg de links hieronder.

• Deel één: Millennium Prijs: het Navier-Stokes existentie- en uniciteitsprobleem
• Deel drie: Millennium Prijs: P vs NP