MILLENNIUMSPREIS-SERIE: Die Millennium Prize Problems sind sieben mathematische Probleme, die vom Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 gestellt wurden. Sie sind nicht einfach – die richtige Lösung eines dieser Probleme führt zu einem Preisgeld von 1.000.000 US-Dollar, das vom Institut vergeben wird.
Der russische Mathematiker Grigori Perelman erhielt den Preis am 18. März letzten Jahres für die Lösung eines der Probleme, der Poincaré-Vermutung – bisher das einzige Problem, das gelöst wurde. Den mit 1.000.000 Dollar dotierten Millenniumspreis lehnte er bekanntlich ab.
In den kommenden Wochen wird jedes dieser Probleme von Experten der Mitgliedseinrichtungen des Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI) beleuchtet.
Hier erklärt Professor Arun Ram die Hodge-Vermutung. Viel Spaß.
Wenn man die Mathematik grob in zwei Teile unterteilt, wären das: Werkzeuge zum Messen und Werkzeuge zum Erkennen.
Um eine Analogie zu verwenden, sind Werkzeuge zum Messen die Technologien zum Sammeln von Daten über ein Objekt, der Prozess des „Fotografierens eines unscharfen Fotos“. Werkzeuge zur Erkennung befassen sich mit folgendem: Wenn man einen Haufen von Daten oder ein unscharfes Foto erhält, wie kann man das Objekt, von dem es stammt, aus den Daten erkennen?
Die Hodge-Vermutung – ein großes ungelöstes Problem in der algebraischen Geometrie – befasst sich mit der Erkennung.
William Vallance Douglas Hodge war ein Professor in Cambridge, der in den 1940er Jahren an der Entwicklung einer verfeinerten Version der Kohomologie arbeitete – Werkzeuge zur Messung von Strömungen und Flüssen über die Grenzen von Oberflächen (zum Beispiel Flüssigkeitsströmungen über Membranen).
Die klassischen Versionen der Kohomologie werden für das Verständnis des Flusses und der Ausbreitung von Elektrizität und Magnetismus verwendet (zum Beispiel die Maxwell-Gleichungen, die beschreiben, wie elektrische Ladungen und Ströme als Ursprung für elektrische und magnetische Felder wirken). Diese wurden von Hodge in der so genannten „Hodge-Zerlegung der Kohomologie“ verfeinert.
Hodge erkannte, dass die tatsächlichen Messungen des Flusses über Regionen hinweg immer zu einem bestimmten Teil der Hodge-Zerlegung beitragen, der als (p,p)-Teil bekannt ist. Er vermutete, dass jedes Mal, wenn die Daten einen Beitrag zum (p,p)-Teil der Hodge-Zerlegung aufweisen, die Messungen aus einem realistischen Szenario eines Systems von Fluss und Veränderung in einer Region stammen könnten.
Als Analogie könnte man auch sagen, dass Hodge ein Kriterium gefunden hat, um Datenfälschungen zu prüfen.
Wenn Hodges Test positiv ausfällt, kann man sicher sein, dass die Daten gefälscht sind. Die Frage bei der Hodge-Vermutung ist, ob es irgendwelche betrügerischen Daten gibt, die Hodges Test nicht aufdeckt. Bis jetzt scheint der Hodge-Test zu funktionieren.
Aber wir haben noch nicht gut genug verstanden, warum er funktioniert, und so ist die Möglichkeit offen, dass es einen Weg geben könnte, Hodges Sicherheitsschema zu umgehen.
Hodge stellte seine Vermutung 1950 auf, und viele der führenden Köpfe in der Entwicklung der Geometrie haben an diesem grundlegenden Erkennungsproblem gearbeitet. Das Problem selbst hat viele andere verfeinerte Techniken zur Messung von Strömungen, Flüssen und Ausbreitung angeregt.
Tates Vermutung von 1963 ist eine weitere ähnliche Erkennungsfrage, die aus einer anderen Messtechnik hervorgegangen ist, der von Alexander Grothendieck entwickelten l-adischen Kohomologie.
Der stärkste Beweis für die Hodge-Vermutung ist ein Ergebnis von Cattani, Deligne & Kaplan aus dem Jahr 1995, das untersucht, wie sich die Hodge-Zerlegung verhält, wenn sich eine Region verändert.
Klassische Kohomologiemessungen werden von kleinen Mutationen nicht beeinflusst, aber die Hodge-Zerlegung registriert Mutationen. Die Untersuchung der Hodge-Zerlegung über Mutationen hinweg bietet einen großen Einblick in die Muster in den Daten, die bei echten Messungen auftreten müssen.
In den 1960er Jahren initiierte Grothendieck eine mächtige Theorie, die das übliche Konzept der „Region“ verallgemeinert, um „virtuelle Regionen“ einzuschließen (die Theorie der Motive, an denen man „virtuelle Temperaturen“ und „virtuelle Magnetfelder“ messen könnte.
In einem vagen Sinne versucht die Motivtheorie, das Problem anzugehen, indem sie versucht, wie ein Hacker zu denken. Die „Standardvermutungen“ von Grothendieck sind weitreichende Verallgemeinerungen der Hodge-Vermutung, die zu erklären versuchen, welche virtuellen Regionen von realen Szenarien nicht zu unterscheiden sind.
Die Frage der Hodge-Vermutung hat die Entwicklung revolutionärer Werkzeuge und Techniken zur Messung und Analyse von Daten über Regionen hinweg angeregt. Diese Werkzeuge waren und sind für die moderne Entwicklung von grundlegender Bedeutung.
Stellen Sie sich vor, Sie wollen ein Mobiltelefon bauen, ohne zu wissen, wie man Elektrizität und Magnetismus misst, analysiert und kontrolliert. Oder stellen Sie sich den Versuch vor, eine Umwelt zu erhalten, ohne eine Möglichkeit zu haben, die Ausbreitung von Giftstoffen in Regionen und Gewässern zu messen, zu analysieren und aufzuspüren.
Natürlich macht die quälende Intrige rund um Erkennungs- und Nachweisprobleme diese spannend. Große Geister werden davon angezogen und erzielen große Fortschritte in dem Bemühen, zu verstehen, wie das alles funktioniert.
Man könnte mit Fug und Recht behaupten, dass die Hodge-Vermutung der Menschheit umso mehr nützt, je länger sie ungelöst bleibt, weil sie immer raffiniertere Mess- und Analysetechniken hervorbringt und die Entwicklung immer besserer Methoden zur Erkennung von Objekten aus den Daten anregt.
Das Clay Mathematics Institute tat gut daran, die Hodge-Vermutung als ein Problem zu bezeichnen, das die Entwicklung neuer Methoden und Technologien in großem Umfang anregen kann, und sie in die Reihe der Millennium-Probleme aufzunehmen.
Dies ist der zweite Teil der Millennium-Preis-Serie. Um die anderen Teile zu lesen, folgen Sie den Links unten.
- Teil 1: Millenniumspreis: das Navier-Stokes Existenz- und Eindeutigkeitsproblem
- Teil 3: Millennium Prize: P gegen NP