MILLENNIUM-DÍJ-sorozat: A Millenniumi Díj problémái a Clay Matematikai Intézet által 2000-ben meghatározott hét matematikai probléma. Nem könnyűek – bármelyik helyes megoldása az intézet által odaítélt 1 000 000 dolláros díjat eredményez.
Grigori Perelman orosz matematikus tavaly március 18-án kapta meg a díjat az egyik probléma, a Poincaré-feltevés megoldásáért – ez eddig az egyetlen megoldott probléma. Híres, hogy visszautasította az 1 000 000 dolláros Millenniumi Díjat.
A következő hetekben az Ausztrál Matematikai Tudományos Intézet (AMSI) tagintézményeinek szakértői fogják megvilágítani az egyes problémákat.
Itt Arun Ram professzor a Hodge-sejtést magyarázza. Jó szórakozást.
Ha durván két részre osztanánk a matematikát, akkor ezek a következők lennének: mérési eszközök és felismerési eszközök.
Hogy egy analógiával éljek, a mérési eszközök egy tárgyról való adatgyűjtés technológiái, a “homályos fénykép készítésének” folyamata. A felismerésre szolgáló eszközök a következőkkel foglalkoznak: ha kapunk egy halom adatot vagy egy homályos fényképet, hogyan lehet az adatokból felismerni a tárgyat, amelyről az adat származik?
A Hodge-vetés – az algebrai geometria egyik legnagyobb megoldatlan problémája – a felismeréssel foglalkozik.
William Vallance Douglas Hodge cambridge-i professzor volt, aki az 1940-es években a kohomológia egy kifinomult változatának kifejlesztésén dolgozott – olyan eszközökön, amelyekkel mérni lehet a felületek határain keresztüli áramlást és áramlást (például a membránokon keresztüli folyadékáramlást).
A kohomológia klasszikus változatait az elektromosság és a mágnesesség áramlásának és terjedésének megértéséhez használják (például a Maxwell-egyenletek, amelyek leírják, hogyan viselkednek az elektromos töltések és áramok az elektromos és mágneses mezők origójaként). Ezeket Hodge finomította abban, amit ma “a kohomológia Hodge-féle dekompozíciójának” nevezünk.
Hodge felismerte, hogy a régiók közötti áramlás tényleges mérései mindig hozzájárulnak a Hodge-féle dekompozíció egy bizonyos részéhez, amelyet (p,p) résznek nevezünk. Feltételezte, hogy minden olyan esetben, amikor az adatok a Hodge-dekompozíció (p,p) részéhez való hozzájárulást mutatnak, a mérések egy reális forgatókönyv szerint egy régión keresztüli áramlás és változás rendszeréből származhatnak.
Vagy, hogy ezt analógiaként fogalmazzuk meg, mondhatnánk, hogy Hodge talált egy kritériumot a hamisított adatok tesztelésére.
Ha Hodge tesztje pozitívan jön vissza, akkor biztosak lehetünk benne, hogy az adatok hamisak. A kérdés a Hodge-vélelmezésben az, hogy van-e olyan csalárd adat, amelyet Hodge tesztje nem fog kimutatni. Eddig úgy tűnik, hogy Hodge tesztje működik.
De még nem értettük meg elég jól, hogy miért működik, és így nyitva áll a lehetőség, hogy van mód Hodge biztonsági rendszerének kijátszására.
Hodge 1950-ben tette feltevését, és a geometria fejlődésének számos vezetője dolgozott ezen az alapvető felismerési problémán. Maga a probléma számos más kifinomult technikát ösztönzött az áramlás, a fluxus és a diszperzió mérésére.
Tate 1963-as sejtése egy másik hasonló felismerési kérdés, amely egy másik mérési technikából, az Alexander Grothendieck által kifejlesztett l-adikus kohomológiából ered.
A legerősebb bizonyíték a Hodge-sejtés mellett Cattani, Deligne & Kaplan 1995-ös eredménye, amely azt vizsgálja, hogyan viselkedik a Hodge-bomlás egy régió mutációja során.
A klasszikus kohomológia méréseket nem befolyásolják a kis mutációk, de a Hodge-dekompozíció regisztrálja a mutációkat. A Hodge-bomlás mutációkon keresztüli vizsgálata nagyszerű betekintést nyújt az adatok mintázataiba, amelyeknek a valódi mérésekben kell előfordulniuk.
A hatvanas években Grothendieck egy erőteljes elméletet kezdeményezett, amely általánosította a “régió” szokásos fogalmát a “virtuális régiókra” (a motívumok elmélete, amelyeken “virtuális hőmérsékleteket” és “virtuális mágneses mezőket” lehet mérni.
A motívumelmélet homályos értelemben úgy próbálja megtámadni a problémát, hogy megpróbál úgy gondolkodni, mint egy hacker. Grothendieck “standard sejtései” a Hodge-féle sejtés messzemenő általánosításai, amelyek megpróbálják megmagyarázni, hogy mely virtuális régiók megkülönböztethetetlenek a valóságos forgatókönyvektől.
A Hodge-sejtés kérdése forradalmi eszközök és technikák kifejlesztésére ösztönözte a régiók közötti adatok mérését és elemzését. Ezek az eszközök alapvető szerepet játszottak és játszanak ma is a modern fejlődésben.
Képzeljük el, hogy megpróbálunk mobiltelefont építeni anélkül, hogy értenénk, hogyan kell mérni, elemezni és szabályozni az elektromosságot és a mágnesességet. Vagy képzeljük el, hogy megpróbálunk fenntartani egy környezetet anélkül, hogy ne tudnánk mérni, elemezni és kimutatni a mérgek terjedését a régiókban és a vízi utakban.
A felismerési és kimutatási problémák körüli kínzó intrika természetesen izgalmassá teszi őket. Nagyszerű elmék vonzódnak bele, és nagyszerű eredményeket érnek el annak megértése érdekében, hogy mitől működik mindez.
Nagyon is joggal állíthatjuk, hogy minél tovább marad megoldatlan probléma a Hodge-feltevés, annál több jót fog tenni az emberiségnek, egyre kifinomultabb mérési és elemzési technikákat ösztönözve, és egyre jobb és jobb módszerek kifejlesztésére serkentve a tárgyak felismerését az adatokból.
A Clay Matematikai Intézet bölcsen tette, hogy a Hodge-vetélkedést olyan problémaként jelölte meg, amely képes új módszerek és technológiák széleskörű fejlesztésére ösztönözni, és a Millenniumi problémák közé sorolta.
Ez a Millenniumi Díj sorozat második része. A többi rész elolvasásához kövesse az alábbi linkeket.
- Első rész: Millenniumi díj: a Navier-Stokes létezési és egyediségi probléma
- Harmadik rész: Millenniumi díj: P vs. NP