1 INTRODUCTION

この章では、古典（すなわち非量子）物理理論における時間の表現と変化に関するものである。 この章の主な目的の一つは、いわゆる時間の問題の性質と範囲を明らかにしようとすることである。一般相対性理論を量子化する試みの邪魔をするように見える技術的、解釈的問題の結びつきであり、その根は一般共分散理論にある。 そのため、この章の大部分は、よりよく理解されている他の理論における時間と変化の表現についての議論に費やされ、最もわかりやすい事例から始まり、時間の問題の原因となっている一般相対性理論の特徴について、ある意味で準備する事例の考察へと進んでいくことになる。

まず、物理理論における時間と変化の表現について、私がどのようなことを念頭に置いているかについて、最も扱いやすいケースであるニュートン物理学を根拠として少しお話しします。

完全に一般論として、物理理論の内容に関する多くの質問と主張は、理論の運動方程式の解の構造特性に関する質問として、あるいはこれらの方程式の構造特性に関する質問として、二つの解釈を認めています。 例えば、一方では、時間は物理学が展開される時空の一側面として、つまり、理論の方程式の解が設定される背景の一側面として現れる。 他方、時間は物理法則における役割、特に物理法則を符号化した微分方程式における役割として表される。 例えば、ニュートン物理学で時間は均質である（あるいはニュートンが言うように、時間は等しく流れる）という主張を考えてみてください。

ニュートン的設定では、これらの2種類の考察はうまくかみ合い相互支援を提供し、法律の対称性と時空の対称性の間には一貫性が存在する。 しかし、原理的には、2種類の考察が同じような答えを導く必要はない。ニュートン時空で、時間に依存する力を受ける系を考えることもできるし、ニュートン的なn体問題を、好ましい瞬間を特徴とするが、それ以外はニュートン時空の構造を持つ時空に設定することも可能であろう。 一般相対性理論では、法則は膨大な（まさに無限次元の）対称性群を持つが、一般解には対称性が全くない。

時間と変化の表現を論じるにあたり、この章では、特定の解の特徴よりも、物理理論の法則の構造的特徴に焦点を当てることにする。 この点を強調するために、私は動的理論としてこの理論またはその理論の構造に興味があると言うことにします。

私は古典的理論に対するラグランジュ・アプローチとハミルトン・アプローチという、このような話題が自然に扱われる2つの大きな、そして密接に関連した枠組みを通じて話題に取り組みます4。 大まかに言えば、これらのアプローチでは、理論の方程式の内容が、理論に関連する可能性の空間上のある構造で符号化される5。ラグランジュ・アプローチでは、注目すべき空間は理論の方程式の解の空間であり、発見的な目的のためには、理論によって許される可能世界の空間と同定することができる6。 ハミルトン側では、注目すべき空間は理論の方程式のための初期データの空間であり、同じ精神で理論によって許される可能な瞬間的状態の空間と同定することができる。

ニュートン力学では、法則の時間並進不変性をラグランジュの枠組みで反映させると、解の空間自体が時間並進の下で不変になる：ニュートンの運動法則に従う時空における粒子の軌道のセットが与えられると、すべてのイベントが時間的に量tだけ並進した場合に生じる粒子の軌道のセットを構築できる；後のセットは解（すなわち さらに、解からその時間変換への写像は、理論のダイナミクスをコード化する解の空間上の構造を保持するものである。 一方、ハミルトン理論の枠組みでは、法則の時間変換不変性は、初期データセットをt時間単位で進化する状態へ送る写像の存在によって反映されます。 そのため、理論のダイナミクスの時間的対称性は、ラグランジュ側では時間移動の概念によって、ハミルトン側では時間発展の概念によって反映される。

ニュートン物理学における変化の表現もラグランジュとハミルトンの枠組みの中で異なる（しかし密接に関連した）形態をとる。 変化は、システムが異なる時間に異なる、相容れない性質を持つことからなる。 例えば、2体系の観測可能な性質に変化があるのは、粒子間の相対距離が異なる時間において異なる場合のみである、と言いたいのです

Hamiltonian Approach. このような系の瞬間的な力学的状態を指定することは、粒子間の瞬間的な相対距離を指定することで十分である。 そこで、この量に対応する初期データの空間上の関数が存在する。 システムの歴史は、初期データの空間を通る軌跡である。 この単純な例では、粒子間の相対距離に対応する関数が軌跡上の異なる地点で異なる値をとる場合にのみ、ある履歴の間に観測可能な変化が起こります。 より一般的には、ニュートン系では、（観測可能かどうかにかかわらず）物理的に関心のあるあらゆる量は、初期データの空間上の関数で表され、この空間における軌道は、対応する関数が軌道上の異なる点で異なる値をとる場合に、そのような量が変化するように表されます。 明らかに、解の空間上の関数は、初期データの空間上の関数ができるのと同じように直接的に変化する量を表すことはできない。 しかし、各tについて、我々の二体問題の解の空間上の関数があり、それは各解に、その解に応じた時間tにおける粒子間の相対距離を割り当てるものである。 tを変化させながら、解の空間上の関数の1パラメータ族を構成します。 運動方程式の解は、この関数の1パラメータ族の異なるメンバーが与えられた解で評価されたときに異なる値をとる場合にのみ、粒子間の相対距離が変化するものとして表現されます。 さらに一般的には、変化する物理量は解の空間上の関数のこのような1パラメータ族に対応し、変化は単純な2体の例と同様に理解されます。

物理理論における時間と変化の表現について私が考えていることは、このくらいになります。 この章がこれらのトピックを論じる際の道筋を描く前に、その最終目標、いわゆる時間の問題の本質を明らかにすることについて少し述べておくと、おそらく役に立つことでしょう。 時間の問題についての議論は、一般相対性理論のハミルトン版で行われることが多く、そこでは、可能な瞬間的幾何学（コーシー曲面上のメトリックスと第二基本形式）の空間に焦点が当てられている。 このようなアプローチは、最初から時空を空間的な超曲面群に分割する必要があり、理論の一般的な共分散の理解の精神に反するように思われるからである。 この事実を考えると、通常提示される時間の問題のいくつかの側面は、このかなり厄介な進め方の結果であることを心配する余地がある。 私は、瞬間的な状態ではなく、系の完全な歴史を基本としてとらえるラグランジュ・アプローチに常に軸足を置きながら、やや異なる道を歩んでいます。

以下に展開する見解は、大まかに言って、時間の問題の核心は、一般相対論において、動的に理解した場合、時間発展や時間変換を理論の対称性として捉える方法がなく、関連して、ラグランジュやハミルトニアンのアプローチで生じる空間の関数を通じて変化をモデル化する方法が自然ではないことです(7)。 このことは、一般相対性理論が、これまでの基本的な理論とは大きく異なる点です。 確かに、ここにはパズルがあります。 なぜ一般相対性理論は先行する理論とこのように違うのでしょうか。 一般相対論の前身では、時間の表現と変化の表現が非常にきれいにパッケージされていますが、このパッケージの一般相対論的な置き換えはどのようなものなのでしょうか。 これらは興味深い質問である。 しかし、一般相対性理論では、時間の表現が従来のものと同じであることを期待することはできません。一般相対性理論がまったく新しい時間と空間の姿を提示することは、この理論の栄光のひとつなのです。 一般相対性理論では時空の構造が解によって異なるので、理論が我々の世界での時間の性質について何を語っているかを理解するためには、理論の方程式ではなく、物理的に現実的な解における時間の表現を見る方がより適切であろう、と考えることもできる。 後継理論の構築というプロジェクトは、当然ながら手持ちの理論の構造的特徴に注意を向けることになる。後継理論の構築は、現在の理論のどの特徴が（おそらく新しい形で）生き残り、どの特徴が取り残されるかを賭ける仕事なのである。 そして、既知の量子化の技術は、微分方程式だけでなく、ハミルトン形式やラグランジュ形式の理論も入力として必要とする。 したがって、一般相対性理論の量子化に興味を持つ者にとって、力学的理論としての一般相対性理論の構造に関する問題は、当然ながら大きく立ちはだかることになる。 そして、これらの問題が解決されない限り、一般相対性理論を量子化することは困難であることが予想される。 6454>

本章では、時間の問題に対して長い道のりを歩むことになる。 第2節では、まずハミルトン力学とラグランジュ力学を簡単に紹介し、この後に続くことの動機付けとする。 第3章では、古典力学の基礎となる数学の分野であるシンプレクティック幾何学のいくつかの重要な概念と結果について概説する。 ここで紹介する概念は、この後の展開において非常に重要である。よく振る舞う理論では、解の空間（ラグランジュ側）と初期データの空間（ハミルトニア側）の両方がシンプレクティック構造を持つ。 そして、理想的な場合から離れても、様々なシンプレクティック（あるいは、ほぼシンプレクティック）な空間が生じることがわかるだろう。 第4節では、局所保存則の装置を持つ現代のラグランジュ力学の非常に強力な枠組みを描く。

第5節では、次の条件を満たす理想的によく振る舞う理論のラグランジアンとハミルトニアンの図を描く。 (i)背景の時空幾何が時間変換のグループを認め、理論のラグランジアンはこのグループの作用に対して（適切な意味で）不変である (ii)理論の方程式の初期データを指定すれば、単一の最大解が決定される (iii)この最大解が時間パラメータのすべての値に対して定義される。 これらの条件が成立するとき、ラグランジアン側では解の空間に作用する時間並進対称性のグループが存在し、ハミルトニアン側では初期データの空間に時間発展を実装するグループが存在することがわかる。 これら2つの空間は同型であり、2つの群作用は満足な形で絡み合います。 6454>

第6節では、前項の条件（i）-（iii）を1つでも取りやめると、絵が複雑になることに目を向ける。 最後に第7節で、一般相対性理論における時間と変化の表現について取り上げる。 これは時間の問題に直結する。

この概要で明らかなように、この章の大部分は専門的な事柄の説明に費やされている。 この章を短くするために、読者がかなりの技術的背景を持ってこの章を読みに来ることを前提にしなければならなかった。 一般相対性理論やゲージ理論を学んだことがあり、微分幾何学の基本的な概念、結果、構成に慣れている読者を理想とし、そのような読者の記憶を呼び起こすための議論をいくつかの戦略的ポイントで含んでいるが）

この章は、第4節で素描として示されているラグランジュ力学への現代幾何学のアプローチに基礎をおいている。 このアプローチは数学者によって比較的最近開発されたもので、任意の理論を完全に厳密に扱うというよりは、物理理論を考えるための高度に抽象的な枠組みを提供するものである。 これは形式的な微分幾何学的なレベルに存在するものである。 は，様々な空間の幾何学的構造，方程式や作図の幾何学的内容に焦点が当てられており，関数解析の詳細については保留されている． 他のセクションでスケッチされた材料の多くは、この同じレベルで機能します。

内容的には、この章は、 , および , と多少重なります。 Butterfieldの章は、力学に対する現代の幾何学的アプローチに対する哲学的な紹介であり、本章は、哲学的問題に対するこのアプローチの適用例として意図されている。 しかし、本章は自己完結的であることを意図している。 後者は有限次元系に限定され、ハミルトン的な側面に焦点を当てているが、本章は場の理論に主眼を置き、ラグランジュ的なアプローチに重点を置いているのである。

REMARK 1（表記と用語）

場の理論の解の空間の要素や構造は常に大文字（ギリシャ語またはラテン語）で示され、場の理論の空間の初期データの要素や構造は常に小文字（ギリシャ語またはラテン語）で示されています。 太字は3ベクトルまたは3ベクトル値を持つ関数を示す。 この章では、曲線とは、実数の区間から多様体または多様体の穏やかな一般化である空間への写像であると公式に述べている。強調するために、曲線をパラメータ化曲線と冗長に呼ぶこともある。 アフィン的にパラメタライズされた曲線とは、このような曲線の同値類で、2つの曲線が同じ像を持ち、そのパラメタライズが原点の選択まで一致すれば同値とみなされるものです8。

REMARK 2 (Possible Worlds Talk).

以下、特に7節で、解（初期データ）の空間の点を、理論が許す可能世界（瞬間的可能状態）を表すものとして話すことがありますが、ここでは細かい解釈には関与しないことにしています。 このようなことは、あくまでも大雑把で発見的な意味である。 ある理論を理解しようとするとき、私たちはその理論のわかりやすい定式化を求めているところがあります。定式化がわかりやすいものであれば、その理論の一応の魅力的な解釈が存在し、その解釈の下では、解（初期データ）の空間と理論が認める可能世界（可能な瞬間状態）の空間の間に双射が存在すると考えるのが妥当なところでしょう。 ライプニッツァ派の人は、古典力学の標準的な定式化に落ち着くかもしれないが、その場合、時間変換によって関連付けられた解が同じ可能世界に対応すると見なされなければならないという事実によって、解と可能世界の間の表現関係を多対一と見なすことになるからだ

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