1 JOHDANTO

Tämä luku käsittelee ajan ja muutoksen esittämistä klassisissa (eli ei-kvantumissa) fysiikan teorioissa. Yksi luvun päätavoitteista on yrittää selventää niin sanotun aikaongelman luonnetta ja laajuutta: se on solmu teknisiä ja tulkintaongelmia, jotka näyttävät seisovan yleisen suhteellisuusteorian kvantifiointiyritysten tiellä ja joiden juuret ovat tuon teorian yleisessä kovarianssissa.

Luonnollisin tapa lähestyä näitä kysymyksiä on tarkastella selkeämpiä tapauksia. Niinpä suuri osa luvusta annetaan keskustelulle ajan ja muutoksen esittämisestä muissa, paremmin ymmärretyissä teorioissa, aloittaen kaikkein suoraviivaisimmista tapauksista ja edeten sellaisten tapausten tarkastelun kautta, jotka tavalla tai toisella valmistavat meitä yleiseen suhteellisuusteoriaan sisältyviin piirteisiin, jotka ovat vastuussa ajan ongelmasta.

Aloitan sanomalla hieman siitä, millaisia asioita tarkoitan puhuessani ajan ja muutoksen esittämisestä fysikaalisissa teorioissa, ja perustan keskustelun kaikkein helpoimmin käsiteltävään tapaukseen, newtonilaiseen fysiikkaan.

Ylipäätään monet fysikaalisen teorian sisältöä koskevat kysymykset ja väittämät voidaan tulkita kahdella tavalla – kysymyksinä teorian liikeyhtälöiden ratkaisujen rakenteellisista erityispiirteistä tai kysymyksinä teorian liikeyhtälöiden rakenteellisista erityispiirteistä. Toisaalta esimerkiksi aika näyttäytyy niiden avaruusaikojen piirteenä, joissa fysiikka kehittyy – toisin sanoen sen taustan piirteenä, johon teorian yhtälöiden ratkaisut sijoittuvat. Toisaalta aika esitetään sen roolin kautta fysiikan laeissa – erityisesti sen roolin kautta näitä lakeja koodaavissa differentiaaliyhtälöissä. Niinpä kysymyksiä ja väitteitä ajan luonteesta fysikaalisissa teorioissa voidaan tulkita kahdella tavalla.

Tarkastellaan esimerkiksi väitettä, jonka mukaan aika on homogeeninen newtonilaisessa fysiikassa (tai, kuten Newton sanoisi, että aika virtaa tasaisesti). On olemassa kahdenlaisia tosiasioita, joita voisimme pitää tämän väitteen perusteluna.

Newtonilaisessa asetelmassa nämä kahdenlaiset tarkastelut nivoutuvat hienosti toisiinsa, ja ne tukevat toisiaan vastavuoroisesti toisiaan: lakien symmetriat ja aika-avaruuden symmetriat ovat keskenään sopusoinnussa. Periaatteessa näiden kahdenlaisten tarkastelujen ei kuitenkaan tarvitse johtaa samantyyppiseen vastaukseen: voidaan tarkastella systeemiä newtonilaisessa avaruusajassa, johon kohdistuu ajasta riippuvia voimia; tai voidaan asettaa newtonilainen n-kappaleen ongelma avaruusaikaan, jossa on etuoikeutettu hetki, mutta joka muuten on rakenteeltaan newtonilaisen avaruusajan kaltainen. Ja kun siirrytään pois Newtonin fysiikan tutusta asetelmasta, on entistäkin tärkeämpää erottaa nämä kaksi lähestymistapaa toisistaan: yleisessä suhteellisuusteoriassa laeilla on valtava (itse asiassa äärettömän moniulotteinen) symmetriaryhmä, kun taas geneerisillä ratkaisuilla ei ole lainkaan symmetrioita.

Keskustellessamme ajan ja muutoksen esittämisestä tässä luvussa keskitytään fysikaalisten teorioiden lakien rakenteellisiin piirteisiin pikemminkin kuin yksittäisten ratkaisujen piirteisiin. Korostaakseni tätä seikkaa sanon, että olen kiinnostunut tämän tai tuon teorian rakenteesta dynaamisena teoriana.

Lähestyn aiheitani klassisten teorioiden Lagrangin ja Hamiltonin lähestymistapojen kautta, jotka ovat kaksi suurta yleistä – ja läheisesti toisiinsa liittyvää – kehystä, joissa tällaisia aiheita käsitellään luonnollisesti.4 Karkeasti sanottuna kummassakin näistä lähestymistavoista teorian yhtälöiden sisältö on koodattu tiettyihin rakenteisiin teoriaan liittyvässä mahdollisuuksien avaruudessa.5 Lagrangen lähestymistavassa esillä oleva avaruus on teorian yhtälöiden ratkaisujen avaruus, jonka voimme heuristisissa tarkoituksissa samaistaa teorian sallimien mahdollisten maailmojen avaruuteen.6 Hamiltonin puolella featured space on teorian yhtälöiden alkutietojen avaruus, jonka voimme samassa hengessä samaistaa teorian sallimien mahdollisten hetkellisten tilojen avaruuteen.

Newtonin mekaniikassa lakien aikakäänteettömyyden heijastuminen Lagrangen kehyksessä on se, että ratkaisujen avaruus on itsessään aikakäänteettömänä invariantti: annettuna joukko hiukkasratoja avaruusajassa, jotka tottelevat Newtonin liikelakeja, voimme konstruoida niiden hiukkasratojen joukon, jotka syntyvät, jos kaikki tapahtumat käännetään ajassa määrällä t; jälkimmäinen joukko on ratkaisu (ts, on liikelakien sallima), jos ja vain jos edellinen joukko on; lisäksi kartta, joka vie meidät ratkaisusta sen aikakäänteeseen, säilyttää ratkaisujen avaruuden rakenteen, joka koodaa teorian dynamiikan. Hamiltonin kehyksessä taas lakien aikakäänteettömyys näkyy sellaisen kartan olemassaolossa, joka lähettää alkutietojoukon tilaan, johon se kehittyy t:n aikayksikön kuluessa; tämäkin kartta jättää muuttumattomaksi teorian dynamiikkaa koodaavan rakenteen ratkaisuavaruudessa. Teorian dynamiikan ajallinen symmetria heijastuu siis Lagrange-puolella aikakäännöksen käsitteellä ja Hamilton-puolella aikakehityksen käsitteellä.

Muutoksen esittäminen newtonilaisessa fysiikassa saa myös erilaisia (mutta läheisesti toisiinsa liittyviä) muotoja Lagrange- ja Hamilton-kehyksissä. Muutos koostuu siitä, että systeemillä on erilaisia ja yhteensopimattomia ominaisuuksia eri aikoina. Haluamme esimerkiksi sanoa, että kahden kappaleen systeemin havaittavissa ominaisuuksissa tapahtuu muutos, jos ja vain jos hiukkasten välinen suhteellinen etäisyys on erilainen eri ajankohtina.

Hamiltonilainen lähestymistapa. Tällaisen systeemin hetkellisen dynaamisen tilan määrittäminen riittää määrittämään hiukkasten välisen hetkellisen suhteellisen etäisyyden. Alkutietojen avaruudessa on siis funktio, joka vastaa tätä suureen. Systeemin historia on liikerata alkutietojen avaruuden läpi. Yksinkertaisessa esimerkissämme havaittavaa muutosta tapahtuu tietyn historian aikana, jos ja vain jos hiukkasten välistä suhteellista etäisyyttä vastaava funktio saa eri arvoja kyseisen radan eri kohdissa. Yleisemmin, missä tahansa newtonilaisessa systeemissä mikä tahansa fysikaalisesti kiinnostava suure (havaittavissa oleva tai ei) edustaa funktiota alkutietojen avaruudessa, ja rata tässä avaruudessa edustaa tällaisia suureita muuttuvina, jos vastaavat funktiot saavat eri arvoja radan eri pisteissä.

Lagrangen lähestymistapa. On selvää, että mikään ratkaisuavaruuden funktio ei voi edustaa muuttuvaa suureen samalla suoralla tavalla kuin alkutietojen avaruuden funktiot. Mutta jokaiselle t:lle on olemassa funktio kahden kappaleen ongelmamme ratkaisuavaruudessa, joka määrittää kullekin ratkaisulle hiukkasten välisen suhteellisen etäisyyden ajanhetkellä t kyseisen ratkaisun mukaisesti. Kun t:n annetaan vaihdella, muodostetaan yksiparametrinen funktioperhe ratkaisujen avaruuteen. Liikeyhtälöiden ratkaisu esittää hiukkasten välisen suhteellisen etäisyyden muuttuvana, jos ja vain jos tämän yhden parametrin funktioperheen eri jäsenet saavat eri arvoja, kun ne arvioidaan kyseiselle ratkaisulle. Ja niin edelleen yleisemmin: mikä tahansa muuttuva fysikaalinen suure vastaa tällaista yhden parametrin funktioperhettä ratkaisujen avaruudessa, ja muutos ymmärretään kuten yksinkertaisessa kahden kappaleen esimerkissä.

Niin paljon siitä, mitä tarkoitan puhuessani ajan ja muutoksen esittämisestä fysikaalisessa teoriassa. Ennen kuin hahmotellaan polkua, jota tämä luku kulkee näitä aiheita käsitellessään, on ehkä hyödyllistä sanoa hieman sen perimmäisestä päämäärästä – niin sanotun aikaongelman luonteen selvittämisestä. Ajan ongelmaa koskevissa keskusteluissa keskitytään tyypillisesti yleisen suhteellisuusteorian Hamiltonin versioihin, joissa keskitytään mahdollisten hetkellisten geometrioiden avaruuteen (metriat ja toiset perusmuodot Cauchyn pinnoilla). Tämä on jokseenkin valitettavaa, koska tällaiset lähestymistavat edellyttävät alusta alkaen avaruusajan jakamista avaruudellisten hyperpintojen perheeseen – mikä näyttää olevan vastoin teorian yleisen kovarianssin tavanomaisen käsityksen henkeä. Tämän tosiasian valossa on syytä olla huolissaan siitä, että jotkin ajan ongelman näkökohdat, sellaisina kuin ne tavallisesti esitetään, ovat seurauksia tästä melko hankalasta etenemistavasta. Kuljen hieman erilaista tietä ja ankkuroin keskusteluni aina Lagrangen lähestymistapaan, joka pitää perustavanlaatuisena systeemien täydellisiä historiatietoja pikemminkin kuin hetkellisiä tiloja.

Jäljempänä kehitettävän näkemyksen mukaan aikaongelman ydin on karkeasti ottaen se, että yleisessä suhteellisuusteoriassa, kun se ymmärretään dynaamisesti, ei ole mitään tapaa tarkastella ajan evoluutiota tai aikakäänteistöä teorian symmetrioina, ja siihen liittyen ei ole mitään luonnollista tapaa mallintaa muutosta funktioiden avulla, joita on esitetty avaruudessa, joka syntyy Lagrangin ja Hamiltonilaisen lähestymistapojen puitteissa.7 Tämä merkitsee erästä seikkaa, jossa yleinen suhteellisuusteoria, sellaisena kuin se on ymmärretty, eroaa hyvin paljon aiemmista fundamentaaliselta vaikuttavista teorioista.

Aikaongelma saattaa kuulostaa – ei kovin kiireelliseltä. On totta, että tässä on pulmia. Miksi yleisen suhteellisuusteorian pitäisi poiketa tällä tavoin edeltäjistään? Yleisen suhteellisuusteorian edeltäjissä ajan esittäminen ja muutoksen esittäminen on sidottu hyvin siistiin pakettiin – miltä näyttää tämän paketin yleisrelativistinen korvaaja? Nämä ovat mielenkiintoisia kysymyksiä. Mutta sitten kenenkään ei tietenkään pitäisi odottaa, että aika esitettäisiin yleisessä suhteellisuusteoriassa samoin kuin sen edeltäjissä – se, että se esittää täysin uudenlaisen kuvan ajasta ja avaruudesta, on yksi teorian loistavimmista puolista. Ja voisi myös ajatella: koska avaruusajan rakenne vaihtelee yleisessä suhteellisuusteoriassa ratkaisusta toiseen, on varmasti tarkoituksenmukaisempaa tarkastella ajan esittämistä tässä tai siinä fyysisesti realistisessa ratkaisussa kuin teorian yhtälöissä, jos haluamme ymmärtää, mitä teoria kertoo meille ajan luonteesta maailmassamme.

Aikaongelma saa kuitenkin polttavamman näkökohdan, kun pohditaan yleisen suhteellisuusteorian (tai minkä tahansa muun teorian, joka on yleisesti ottaen kovariantti asiaankuuluvassa mielessä) kvantittumista. Seuraajateorioiden rakentamisprojekti kiinnittää luonnollisesti huomiomme käsillä olevien teorioiden rakenteellisiin piirteisiin – seuraajia rakentaessa on kyse vedonlyönnistä sen suhteen, mitkä nykyisten teorioiden tällaiset piirteet jäävät elämään (ehkä uudessa muodossa) ja mitkä jäävät taakse. Tunnetut kvantisointitekniikat vaativat syötteenä paitsi differentiaaliyhtälöitä myös Hamiltonin tai Lagrangen teorioita. Niinpä yleisen suhteellisuusteorian kvantifioinnista kiinnostuneille on luonnollisesti tärkeää pohtia teorian rakennetta dynaamisena teoriana. Jos edellä mainittuihin pulmiin ei löydy ratkaisua, yleisen suhteellisuusteorian kvantifioinnin muotoilussa (tai ennusteiden tekemisessä siitä) on odotettavissa käsitteellisiä vaikeuksia. Tästä näkökulmasta katsottuna aikaongelma on itse asiassa varsin polttava.

Tässä luvussa kuljetaan pitkää reittiä aikaongelmaan. Aloitan luvussa 2 lyhyellä johdatuksella Hamiltonin ja Lagrangen mekaniikkaan motivoidakseni jotakin seuraavista. Luvussa 3 hahmotan joitakin tärkeitä käsitteitä ja tuloksia symplektisestä geometriasta, klassisen mekaniikan perustana olevasta matematiikan alasta. Tässä esitellyt käsitteet ovat ratkaisevia sen kannalta, mitä seuraavassa kerrotaan: hyvin käyttäytyvissä teorioissa ratkaisujen avaruus (Lagrange-puolella) ja alkutietojen avaruus (Hamilton-puolella) ovat molemmat symplektisiä rakenteita. Ja tulemme näkemään, että erilaisia symplektisiä (tai lähes symplektisiä) tiloja syntyy myös silloin, kun poiketaan ideaalitapauksesta. Luvussa 4 hahmotan nykyaikaisen Lagrangen mekaniikan erittäin tehokkaat puitteet, joihin kuuluu paikallisten säilymislakien laitteisto.

Luvussa 5 hahmotan Lagrangen ja Hamiltonin kuvat ideaalisesti hyvin käyttäytyville teorioille, jotka täyttävät seuraavat ehdot: (i) tausta-avaruusajan geometria sallii aikakäänteiden ryhmän ja teorian Lagrangian on invariantti (sopivassa mielessä) tämän ryhmän vaikutuksen alaisena; (ii) teorian yhtälöiden alkutietojen määrittäminen riittää yhden maksimiratkaisun määrittämiseen; (iii) tämä maksimiratkaisu on määritelty kaikille aikaparametrin arvoille. Kun nämä ehdot täyttyvät, havaitaan, että ratkaisujen avaruuteen vaikuttaa Lagrangin puolella aikamuunnossymmetriaryhmä, kun taas Hamiltonin puolella on ryhmä, joka toteuttaa aikakehitystä alkutietojen avaruudessa. Nämä kaksi tilaa ovat isomorfisia, ja nämä kaksi ryhmätoimintaa kietoutuvat toisiinsa tyydyttävällä tavalla. Voidaan antaa suoraviivainen ja houkutteleva selitys tavasta, jolla muutos esitetään kummassakin näistä kahdesta perusavaruudesta.

Luvussa 6 siirryn käsittelemään komplikaatioita, joita kuvaan joudutaan tuomaan, kun jätetään pois jokin edellisen kappaleen ehdoista (i)-(iii). Lopuksi luvussa 7 käsittelen ajan ja muutoksen esittämistä yleisessä suhteellisuusteoriassa. Tämä johtaa suoraan ajan ongelmaan.

Kuten tästä hahmotelmasta käy ilmi, suuri osa luvusta on omistettu teknisen materiaalin esittelylle. Pituuden pitämiseksi kohtuullisena olen joutunut olettamaan, että lukijalla on tähän lukuun tullessaan melko vähän teknistä taustaa. Olen yrittänyt kirjoittaa ihanteelliselle lukijalle, joka on aiemmin opiskellut yleistä suhteellisuusteoriaa tai ulottumateoriaa ja tuntee siten hyvin differentiaaligeometrian peruskäsitteet, tulokset ja konstruktiot (joskin olen lisännyt muutamaan strategiseen kohtaan keskustelua, jonka tarkoituksena on virkistää tällaisten lukijoiden muistia).

Tämän luvun lähtökohtana on nykyaikainen geometrinen lähestymistapa Lagrange-mekaniikkaan, joka esitellään pelkistettynä hahmotelmana kohdassa 4. Tämä matemaatikkojen suhteellisen hiljattain kehittämä lähestymistapa tarjoaa hyvin abstraktit puitteet fysikaalisten teorioiden pohtimiselle eikä niinkään minkään tietyn teorian täysin perusteellista käsittelyä. Se on olemassa muodollisella, differentiaali-geometrisella tasolla: keskitytään eri tilojen geometriseen rakenteeseen sekä yhtälöiden ja konstruktioiden geometriseen sisältöön; funktionaalianalyyttiset yksityiskohdat jätetään huomiotta. Suuri osa muissa kappaleissa hahmotellusta materiaalista toimii tällä samalla tasolla.

Sisällöltään tämä luku on jonkin verran päällekkäinen , , ja kanssa. Mutta läheisimmin se liittyy . Butterfieldin luku tarjoaa filosofisen johdannon mekaniikan nykyaikaisiin geometrisiin lähestymistapoihin; tämä luku on tarkoitettu esimerkkinä tämän lähestymistavan soveltamisesta filosofiseen ongelmaan. Tämän luvun on kuitenkin tarkoitus olla itsenäinen. Tämän luvun ja Butterfieldin luvun välillä on itse asiassa huomattava ero painotuksissa: Butterfieldin luku rajoittuu äärellisulotteisiin systeemeihin ja keskittyy asioiden hamiltonilaiseen puoleen, kun taas tässä luvussa käsitellään ensisijaisesti kenttäteorioita ja keskitytään paljon enemmän Lagrangen lähestymistapaan.

KERTAUS 1 (Merkintätavat ja terminologia).

Kenttäteorian ratkaisuavaruuden elementit ja rakenteet merkitään aina isoilla kirjaimilla (kreikaksi tai latinaksi), kun taas kenttäteorian alkutietojen avaruuden elementit ja rakenteet merkitään aina pienillä kirjaimilla (kreikaksi tai latinaksi). Lihavoitu fontti tarkoittaa kolmivektoreita tai kolmivektoriarvoisia funktioita. Tässä luvussa käyrä on virallisesti kartta reaalilukujen intervalleista avaruuteen, joka on moniste tai monisteen lievä yleistys – joskus painotuksen vuoksi kutsun käyrää redundantisti parametrisoiduksi käyräksi. Affiinisesti parametrisoitu käyrä on tällaisten käyrien ekvivalenssiluokka, jossa kaksi käyrää lasketaan ekvivalenssiksi, jos niillä on sama kuva ja niiden parametrisointi täsmää origon valintaan asti.8 Parametrisoimaton käyrä on käyrien ekvivalenssiluokka ekvivalenssisuhteen nojalla, jossa käyrät lasketaan ekvivalenssiksi, jos niillä on sama kuva. Joskus sekoitan käyrän ja sen kuvan keskenään.

MERKINTÄ 2 (Mahdollisia maailmoja koskeva puhe).

Huomautus 2 (Mahdollisia maailmoja koskeva puhe).

Huomautus 2 (Mahdollisia maailmoja koskeva puhe).

Huomautus 2 (Mahdollisia maailmoja koskeva puhe).

Huomautus 2 (Mahdollisia maailmoja koskeva puhe).

Huomautus 2 (Mahdollisia maailmoja koskeva puhe). Tällainen on tarkoitettu vain karkeasti ja heuristisesti. Ajatuksena on, että yrittäessämme ymmärtää teoriaa olemme osittain mukana etsimässä teorian selkeää muotoilua; ja on kohtuullista toivoa, että jos muotoilu on selkeä, teorialle on olemassa prima facie houkutteleva tulkinta, jonka mukaan ratkaisujen (alkutietojen) avaruuden ja teorian sallimien mahdollisten maailmojen (mahdollisten hetkellisten tilojen) avaruuden välillä on bijektio kyseisen tulkinnan mukaisesti. Tämä ei tarkoita sitä, etteikö tällaisten tulkintojen hylkäämiselle voisi olla syitä: Leibnizealainen saattaisi tyytyä klassisen mekaniikan standardimuotoiluun, vaikka se merkitsisikin ratkaisujen ja mahdollisten maailmojen välisen esityssuhteen katsomista monesta yhteen sen vuoksi, että ajan translaation kautta toisiinsa liittyvien ratkaisujen on katsottava vastaavan samaa mahdollista maailmaa.