1 INTRODUCCIÓN

Este capítulo se ocupa de la representación del tiempo y del cambio en las teorías físicas clásicas (es decir, no cuánticas). Uno de los principales objetivos del capítulo es intentar aclarar la naturaleza y el alcance del llamado problema del tiempo: un nudo de problemas técnicos e interpretativos que parecen interponerse en el camino de los intentos de cuantificar la relatividad general, y que tienen sus raíces en la covarianza general de dicha teoría.

La aproximación más natural a estas cuestiones es mediante la consideración de casos más claros. Por ello, gran parte del capítulo se dedica a la discusión de la representación del tiempo y del cambio en otras teorías mejor comprendidas, comenzando por los casos más sencillos y pasando por la consideración de los casos que le preparan a uno, en un sentido u otro, para las características de la relatividad general que son responsables del problema del tiempo.

Permítanme comenzar diciendo un poco sobre el tipo de cosas que tengo en mente al hablar de la representación del tiempo y el cambio en las teorías físicas, basando la discusión en el caso más manejable de todos, la física newtoniana.

Como una cuestión perfectamente general, muchas preguntas y afirmaciones sobre el contenido de una teoría física admiten dos interpretaciones – como preguntas sobre las características estructurales de las soluciones a las ecuaciones de movimiento de la teoría, o como preguntas sobre las características estructurales de estas ecuaciones. Por ejemplo, por un lado, el tiempo aparece como un aspecto de los espacios-tiempo en los que se desarrolla la física, es decir, como un aspecto del fondo en el que se establecen las soluciones de las ecuaciones de la teoría. Por otro lado, el tiempo se representa a través de su papel en las leyes de la física, en particular, en su papel en las ecuaciones diferenciales que codifican estas leyes. Así que las preguntas y afirmaciones sobre la naturaleza del tiempo en las teorías físicas admitirán dos tipos de lectura.

Consideremos, por ejemplo, la afirmación de que el tiempo es homogéneo en la física newtoniana (o, como diría Newton, que el tiempo fluye equitativamente). Hay dos tipos de hechos en los que podríamos fijarnos para fundamentar esta afirmación.

En el entorno newtoniano, estos dos tipos de consideraciones encajan bien y se apoyan mutuamente: hay una consiliencia entre las simetrías de las leyes y las simetrías del espaciotiempo. Pero, en principio, los dos tipos de consideraciones no tienen por qué conducir al mismo tipo de respuesta: se podría considerar un sistema en el espaciotiempo newtoniano que esté sujeto a fuerzas dependientes del tiempo; o se podría plantear el problema newtoniano de los n-cuerpos en un espaciotiempo que tuviera un instante preferido, pero que por lo demás tuviera la estructura del espaciotiempo newtoniano. Y a medida que uno se aleja del entorno familiar de la física newtoniana, se hace aún más importante distinguir los dos enfoques: en la relatividad general, las leyes tienen un enorme (de hecho, infinito) grupo de simetrías mientras que las soluciones genéricas no tienen simetría alguna.

Al discutir la representación del tiempo y el cambio, este capítulo se centrará en las características estructurales de las leyes de las teorías físicas más que en las características de las soluciones particulares. Para enfatizar este punto, diré que estoy interesado en la estructura de tal o cual teoría como teoría dinámica.

Abordaré mis temas a través de los enfoques lagrangiano y hamiltoniano de las teorías clásicas, dos grandes marcos generales -e íntimamente relacionados- en los que tales temas se abordan de forma natural.4 A grandes rasgos, en cada uno de estos enfoques el contenido de las ecuaciones de una teoría se codifica en ciertas estructuras sobre un espacio de posibilidades asociado a la teoría.5 En el enfoque lagrangiano el espacio destacado es el espacio de soluciones a las ecuaciones de la teoría, que a efectos heurísticos podemos identificar con el espacio de mundos posibles que permite la teoría.6 En el lado hamiltoniano, el espacio destacado es el espacio de los datos iniciales para las ecuaciones de la teoría, que podemos en el mismo espíritu identificar con el espacio de los posibles estados instantáneos permitidos por la teoría.

En la mecánica newtoniana, el reflejo dentro del marco lagrangiano de la invariancia de traslación temporal de las leyes es que el espacio de soluciones es en sí mismo invariante bajo traslaciones temporales: dado un conjunto de trayectorias de partículas en el espaciotiempo que obedecen las leyes del movimiento de Newton, podemos construir el conjunto de trayectorias de partículas que resultan si todos los sucesos se trasladan en el tiempo en la cantidad t; este último conjunto es una solución (es decir, está permitido por las leyes del movimiento) si y sólo si el primer conjunto lo es; además, el mapa que nos lleva de una solución a su traslación temporal preserva la estructura en el espacio de soluciones que codifica la dinámica de la teoría. En el marco hamiltoniano, en cambio, la invariabilidad temporal de las leyes se refleja en la existencia de un mapa que envía un conjunto de datos inicial al estado al que evolucionará en t unidades de tiempo; de nuevo, este mapa deja invariante la estructura sobre el espacio que codifica la dinámica de la teoría. Así, la simetría temporal de la dinámica de la teoría se refleja en el lado lagrangiano mediante una noción de traslación del tiempo y en el lado hamiltoniano mediante una noción de evolución del tiempo.

La representación del cambio en la física newtoniana también adopta formas diferentes (pero estrechamente relacionadas) dentro de los marcos lagrangiano y hamiltoniano. El cambio consiste en que un sistema tiene propiedades diferentes e incompatibles en diferentes momentos. Queremos decir, por ejemplo, que hay un cambio en las propiedades observables de un sistema de dos cuerpos si y sólo si la distancia relativa entre las partículas es diferente en diferentes momentos.

Enfoque Hamiltoniano. Para especificar el estado dinámico instantáneo de dicho sistema basta con especificar la distancia relativa instantánea entre las partículas. Por lo tanto, existe una función en el espacio de datos iniciales correspondiente a esta cantidad. Una historia del sistema es una trayectoria a través del espacio de datos iniciales. En nuestro sencillo ejemplo, se produce un cambio observable durante una historia dada si y sólo si la función correspondiente a la distancia relativa entre las partículas toma valores diferentes en distintos puntos de la trayectoria en cuestión. De forma más general, en cualquier sistema newtoniano, cualquier cantidad de interés físico (observable o no) está representada por una función en el espacio de datos iniciales, y una trayectoria en este espacio representa tales cantidades como cambiantes si las funciones correspondientes toman diferentes valores en diferentes puntos de la trayectoria.

Enfoque Lagrangiano. Evidentemente, ninguna función sobre el espacio de soluciones puede representar una cantidad cambiante de la misma manera directa que las funciones sobre el espacio de datos iniciales. Pero para cada t, existe una función sobre el espacio de soluciones de nuestro problema de dos cuerpos que asigna a cada solución la distancia relativa entre las partículas en el tiempo t según esa solución. Dejando que t varíe, construimos una familia de funciones de un parámetro sobre el espacio de soluciones. Una solución de las ecuaciones de movimiento representa la distancia relativa entre las partículas como cambiante si y sólo si diferentes miembros de esta familia de funciones de un parámetro toman valores diferentes cuando se evalúan en la solución dada. Y así, de forma más general: cualquier cantidad física cambiante corresponde a tal familia de funciones de un parámetro en el espacio de soluciones, y el cambio se entiende como en el ejemplo simple de dos cuerpos.

Hasta aquí el tipo de cosas que tengo en mente al hablar de la representación del tiempo y del cambio en una teoría física. Antes de esbozar el camino que sigue este capítulo en la discusión de estos temas, quizás sea útil decir un poco sobre su objetivo final: la aclaración de la naturaleza del llamado problema del tiempo. Las discusiones sobre el problema del tiempo se centran típicamente en las versiones hamiltonianas de la relatividad general, en las que la atención se centra en el espacio de posibles geometrías instantáneas (métricas y segundas formas fundamentales sobre superficies de Cauchy). Esto es algo desafortunado, ya que tales enfoques requieren desde el principio una división del espaciotiempo en una familia de hipersuperficies espaciales, lo que parece ir en contra del espíritu de la comprensión habitual de la covarianza general de la teoría. A la luz de este hecho, cabe preocuparse de que algunos aspectos del problema del tiempo, tal y como se presenta habitualmente, sean consecuencia de esta forma de proceder bastante incómoda. Yo tomo un camino algo diferente, anclando siempre mi discusión en el enfoque lagrangiano, que toma como fundamentales las historias completas de los sistemas en lugar de los estados instantáneos.

El punto de vista que se desarrolla a continuación es que, a grandes rasgos, el núcleo del problema del tiempo es que en la relatividad general, cuando se entiende dinámicamente, no hay forma de ver la evolución del tiempo o la traslación del tiempo como simetrías de la teoría y, en relación con ello, no hay una forma natural de modelar el cambio mediante funciones en los espacios que surgen dentro de los enfoques lagrangiano y hamiltoniano.7 Esto marca un aspecto en el que la relatividad general, así concebida, es muy diferente de las teorías precedentes de aspecto fundamental.

El problema del tiempo puede parecer – no muy apremiante. Sin duda, hay rompecabezas aquí. ¿Por qué la relatividad general debe diferenciarse de esta manera de sus predecesoras? En los predecesores de la relatividad general, la representación del tiempo y la representación del cambio están unidas en un paquete muy ordenado – ¿cómo es el reemplazo relativista general de este paquete? Son preguntas interesantes. Pero, por supuesto, nadie debería esperar que el tiempo se represente en la relatividad general como en sus predecesores; el hecho de que presente una imagen completamente nueva del tiempo y el espacio es una de las glorias de la teoría. Y también se podría pensar: puesto que la estructura del espaciotiempo varía de una solución a otra en la relatividad general, seguramente es más apropiado observar la representación del tiempo en esta o aquella solución físicamente realista, en lugar de en las ecuaciones de la teoría, si queremos entender lo que la teoría nos dice sobre la naturaleza del tiempo en nuestro mundo.

El problema del tiempo asume un aspecto más apremiante, sin embargo, cuando se considera la cuantización de la relatividad general (o de cualquier otra teoría que sea generalmente covariante en el sentido relevante). El proyecto de construir teorías sucesoras centra naturalmente nuestra atención en las características estructurales de las teorías en cuestión -al construir las sucesoras, uno está en el negocio de hacer apuestas sobre qué características de las teorías actuales seguirán existiendo (quizás en una nueva forma), y cuáles se dejarán atrás. Y las técnicas conocidas de cuantificación requieren como entrada no sólo ecuaciones diferenciales, sino también teorías en forma hamiltoniana o lagrangiana. Así pues, para los interesados en cuantificar la relatividad general, las preguntas sobre la estructura de la teoría como teoría dinámica son naturalmente muy importantes. Y a falta de soluciones a los rompecabezas mencionados, cabe esperar dificultades conceptuales para formular (o extraer predicciones de) cualquier cuantificación de la relatividad general. Así que, desde esta perspectiva, el problema del tiempo es, de hecho, bastante apremiante.

Este capítulo toma un largo camino hacia el problema del tiempo. Comienzo en la sección 2 con la más breve de las introducciones a la mecánica hamiltoniana y lagrangiana, a modo de motivación de parte de lo que sigue. En la sección 3, esbozo algunos conceptos y resultados importantes de la geometría simpléctica, el campo de las matemáticas que subyace a la mecánica clásica. Los conceptos introducidos aquí son cruciales para lo que sigue: para las teorías bien manejadas, el espacio de soluciones (en el lado lagrangiano) y el espacio de datos iniciales (en el lado hamiltoniano) tienen ambos estructuras simplécticas. Y veremos que surgen varios espacios simplécticos (o casi simplécticos) incluso cuando uno se aleja del caso ideal. En la sección 4, esbozo el muy poderoso marco de la mecánica lagrangiana moderna, con su aparato de leyes de conservación locales.

En la sección 5, esbozo las imágenes lagrangianas y hamiltonianas para teorías idealmente bien comportadas que satisfacen las siguientes condiciones: (i) la geometría del espaciotiempo de fondo admite un grupo de traslaciones temporales y el Lagrangiano de la teoría es invariante (en un sentido adecuado) bajo la acción de este grupo; (ii) la especificación de datos iniciales para las ecuaciones de la teoría basta para determinar una única solución máxima; (iii) esta solución máxima está definida para todos los valores del parámetro temporal. Cuando se cumplen estas condiciones, encontramos que hay un grupo de simetrías de traslación temporal que opera sobre el espacio de soluciones en el lado lagrangiano, mientras que en el lado hamiltoniano hay un grupo que implementa la evolución temporal sobre el espacio de datos iniciales. Estos dos espacios son isomórficos, y las dos acciones de grupo se entrelazan de forma satisfactoria. Se puede dar una explicación directa y atractiva de la forma en que se representa el cambio en cualquiera de estos dos espacios fundamentales.

En la sección 6, me ocupo de las complicaciones que deben introducirse en el cuadro cuando se elimina cualquiera de las condiciones (i)-(iii) del párrafo anterior. Por último, en la sección 7, abordo la representación del tiempo y el cambio en la relatividad general. Esto conduce directamente al problema del tiempo.

Como queda claro en este esquema, gran parte del capítulo se dedica a la exposición de material técnico. Para mantener una longitud razonable, he tenido que suponer que el lector llega a este capítulo con bastantes conocimientos técnicos. He tratado de escribir para un lector ideal que haya estudiado previamente la relatividad general o la teoría gauge y que, por tanto, se sienta cómodo con los conceptos básicos, los resultados y las construcciones de la geometría diferencial (aunque en algunos puntos estratégicos he incluido discusiones destinadas a refrescar la memoria de dichos lectores).

Este capítulo se basa en el enfoque geométrico moderno de la mecánica lagrangiana que se presenta en un esbozo en la sección 4. Este enfoque, desarrollado hace relativamente poco tiempo por los matemáticos, proporciona un marco muy abstracto para pensar en las teorías físicas, más que un tratamiento totalmente riguroso de una teoría determinada. Existe a nivel formal, diferencial-geométrico: la atención se centra en la estructura geométrica de varios espacios y en el contenido geométrico de las ecuaciones y construcciones; los detalles analíticos funcionales se mantienen en suspenso. Gran parte del material esbozado en otras secciones funciona a este mismo nivel.

En su contenido, este capítulo se solapa un poco con , , y . El capítulo de Butterfield proporciona una introducción filosófica a los enfoques geométricos modernos de la mecánica; el presente capítulo pretende ser un ejemplo de la aplicación de este enfoque a un problema filosófico. Sin embargo, el presente capítulo pretende ser autónomo. Y, de hecho, hay una considerable diferencia de énfasis entre este capítulo y el de Butterfield: este último se limita a los sistemas de dimensiones finitas, y se centra en el lado hamiltoniano de las cosas; el presente capítulo se ocupa principalmente de las teorías de campo, y se centra en mucha mayor medida en el enfoque lagrangiano.

NOTACIÓN 1 (Notación y terminología).

Los elementos y estructuras del espacio de soluciones de una teoría de campos se indican siempre con letras mayúsculas (griegas o latinas), mientras que los elementos y estructuras del espacio de datos iniciales de una teoría de campos se indican siempre con letras minúsculas (griegas o latinas). En negrita se indican los tres vectores o las funciones de tres valores vectoriales. En este capítulo, una curva es oficialmente un mapa desde intervalos de números reales a un espacio que es un colector o una generalización suave de un colector – a veces, para enfatizar, llamo redundantemente a una curva una curva parametrizada. Una curva afinamente parametrizada es una clase de equivalencia de tales curvas, donde dos curvas cuentan como equivalentes si tienen la misma imagen y su parametrización coincide hasta una elección de origen.8 Una curva no parametrizada es una clase de equivalencia de curvas, bajo la relación de equivalencia donde las curvas cuentan como equivalentes si tienen la misma imagen. A veces confundo una curva y su imagen.

MARCA 2 (Charla sobre mundos posibles).

A continuación, especialmente en la sección 7, a veces hablo de puntos del espacio de soluciones (datos iniciales) como representación de mundos posibles (estados instantáneos posibles) permitidos por la teoría, aunque no pretendo involucrarme en asuntos de interpretación de grano fino aquí. Este tipo de cosas se entiende sólo de forma aproximada y heurística. La idea es que al tratar de entender una teoría, estamos en parte comprometidos en una búsqueda de una formulación perspicua de la teoría; y es razonable esperar que si una formulación es perspicua, entonces existirá una interpretación prima facie atractiva de la teoría según la cual hay una biyección entre el espacio de soluciones (datos iniciales) y el espacio de mundos posibles (estados instantáneos posibles) admitidos por la teoría bajo esa interpretación. Esto no significa negar que pueda haber razones para rechazar en última instancia tales interpretaciones: un leibniziano podría conformarse con una formulación estándar de la mecánica clásica, aunque eso signifique considerar la relación de representación entre las soluciones y los mundos posibles como de muchos a uno en virtud del hecho de que las soluciones relacionadas por una traslación temporal deben verse como correspondientes al mismo mundo posible.