MILLENNIUM PRIZE SERIES: Problémy Ceny tisíciletí je sedm matematických problémů stanovených Clayovým matematickým institutem v roce 2000. Nejsou snadné – za správné řešení kteréhokoli z nich institut uděluje cenu 1 000 000 USD.
Ruský matematik Grigorij Perelman získal cenu 18. března loňského roku za vyřešení jednoho z problémů, Poincarého domněnky – zatím jediného vyřešeného problému. Známé je, že odmítl Cenu tisíciletí ve výši 1 000 000 dolarů.
V následujících týdnech budou každý z těchto problémů osvětlovat odborníci z členských institucí Australského institutu matematických věd (AMSI).
Zde profesor Arun Ram vysvětluje Hodgeovu domněnku. Užijte si to.
Pokud bychom hrubě rozdělili matematiku na dvě části, byly by to: nástroje pro měření a nástroje pro rozpoznávání.
Použijeme-li analogii, nástroje pro měření jsou technologie pro sběr dat o objektu, proces „pořízení rozmazané fotografie“. Nástroje pro rozpoznávání se zabývají následujícím: pokud máte k dispozici hromadu dat nebo rozmazanou fotografii, jak lze z těchto dat rozpoznat objekt, který z nich pochází?
Rozpoznáváním se zabývá Hodgeova domněnka – hlavní nevyřešený problém v algebraické geometrii.
William Vallance Douglas Hodge byl profesorem v Cambridge, který ve 40. letech 20. století pracoval na vývoji zdokonalené verze kohomologie – nástroje pro měření toku a proudění přes hranice ploch (například proudění tekutin přes membrány).
Klasické verze kohomologie se používají pro pochopení toku a rozptylu elektřiny a magnetismu (například Maxwellovy rovnice, které popisují, jak elektrické náboje a proudy fungují jako počátky elektrických a magnetických polí). Ty byly zpřesněny Hodgem v tom, co se dnes nazývá „Hodgeův rozklad kohomologie“.
Hodge rozpoznal, že skutečná měření toku napříč oblastmi vždy přispívají k určité části Hodgeova rozkladu, známé jako část (p,p). Vyslovil domněnku, že kdykoli data vykazují příspěvek k (p,p) části Hodgeova rozkladu, mohla měření pocházet z reálného scénáře systému toku a změny napříč regionem.
Nebo, abychom to vyjádřili analogicky, bychom mohli říci, že Hodge našel kritérium pro testování podvodných dat.
Pokud Hodgeův test vyjde pozitivně, můžete si být jisti, že data jsou podvodná. Otázka v Hodgeově domněnce zní, zda existují podvodná data, která Hodgeův test neodhalí. Zatím se zdá, že Hodgeův test funguje.
Nepochopili jsme však dostatečně dobře, proč funguje, a tak je otevřena možnost, že by mohl existovat způsob, jak Hodgeovo bezpečnostní schéma obejít.
Hodge vyslovil svou domněnku v roce 1950 a na tomto základním problému rozpoznávání pracovalo mnoho vůdčích osobností vývoje geometrie. Samotný problém podnítil mnoho dalších zdokonalených technik měření toku, proudění a rozptylu.
Tateova domněnka z roku 1963 je další podobnou rozpoznávací otázkou vycházející z jiné techniky měření, l-adické kohomologie vyvinuté Alexandrem Grothendieckem.
Nejsilnějším důkazem ve prospěch Hodgeovy domněnky je výsledek Cattaniho, Deligneho & Kaplana z roku 1995, který studuje, jak se chová Hodgeův rozklad při mutaci oblasti.
Klasická kohomologická měření nejsou malými mutacemi ovlivněna, ale Hodgeův rozklad mutace registruje. Studium Hodgeova rozkladu napříč mutacemi poskytuje skvělý vhled do zákonitostí v datech, které se musí vyskytovat při skutečných měřeních.
V 60. letech 20. století Grothendieck inicioval mocnou teorii zobecňující obvyklý pojem „region“ tak, aby zahrnoval „virtuální regiony“ (teorie motivů, na nichž lze měřit „virtuální teploty“ a „virtuální magnetická pole“.
V nejasném smyslu se teorie motivů snaží zaútočit na problém tím, že se snaží myslet jako hacker. Grothendieckovy „standardní domněnky“ jsou dalekosáhlým zobecněním Hodgeovy domněnky, které se snaží vysvětlit, které virtuální oblasti jsou nerozlišitelné od reálných scénářů.
Otázka v Hodgeově domněnce podnítila vývoj revolučních nástrojů a technik pro měření a analýzu dat napříč regiony. Tyto nástroje byly a jsou pro moderní vývoj zásadní.
Představte si, že byste se snažili sestrojit mobilní telefon bez znalosti toho, jak měřit, analyzovat a řídit elektřinu a magnetismus. Případně si představte, že byste se snažili udržet životní prostředí bez způsobu, jak měřit, analyzovat a detekovat šíření toxinů v regionech a ve vodních tocích.
Samozřejmě, že dráždivé intriky kolem problémů rozpoznávání a detekce je činí vzrušujícími. Velké mozky jsou vtaženy a vytvářejí velké pokroky ve snaze pochopit, díky čemu to všechno funguje.
Dá se velmi oprávněně tvrdit, že čím déle zůstane Hodgeova domněnka nevyřešeným problémem, tím více prospěje lidstvu, protože bude pohánět stále dokonalejší techniky měření a analýzy a podněcovat vývoj stále lepších metod rozpoznávání objektů z dat.
Clayův matematický institut moudře vytipoval Hodgeovu domněnku jako problém, který má schopnost podnítit rozsáhlý vývoj nových metod a technologií, a zařadil ji mezi problémy tisíciletí.
Jedná se o druhý díl seriálu Cena tisíciletí. Ostatní díly si můžete přečíst na níže uvedených odkazech.
- Díl první: Cena tisíciletí: Navier-Stokesův problém existence a jednoznačnosti
- Díl třetí: Cena tisíciletí: P vs NP
Třetí část: P vs NP