Millenniumprisserie: Millennium Prize Problems är sju matematiska problem som lades fram av Clay Mathematics Institute år 2000. De är inte lätta – en korrekt lösning på något av dem leder till att institutet delar ut ett pris på 1 000 000 US-dollar.

Den ryska matematikern Grigori Perelman tilldelades priset den 18 mars förra året för att ha löst ett av problemen, Poincarés gissning, som hittills är det enda problemet som har lösts. Han tackade nej till millenniepriset på 1 000 000 dollar.

Under de kommande veckorna kommer vart och ett av dessa problem att belysas av experter från de institutioner som är medlemmar i Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).

Här förklarar professor Arun Ram Hodge-konjekturen. Njut.

Om man grovt delar upp matematiken i två delar skulle de vara: verktyg för mätning och verktyg för igenkänning.

För att använda en analogi är verktyg för mätning tekniker för att samla in data om ett objekt, processen att ”ta ett suddigt fotografi”. Verktyg för igenkänning handlar om följande: om man får en hög med data eller ett suddigt fotografi, hur kan man utifrån data känna igen det objekt som det kommer från?

Hodge-konjekturen – ett stort olöst problem inom algebraisk geometri – handlar om igenkänning.

William Vallance Douglas Hodge var en professor i Cambridge som på 1940-talet arbetade med att utveckla en förfinad version av kohomologi – verktyg för att mäta flöden och flöden över ytgränser (t.ex. vätskeflöden över membran).

De klassiska versionerna av kohomologi används för att förstå flödet och spridningen av elektricitet och magnetism (till exempel Maxwells ekvationer, som beskriver hur elektriska laddningar och strömmar fungerar som ursprung för elektriska och magnetiska fält). Dessa förfinades av Hodge i det som nu kallas ”Hodge-dekompositionen av kohomologi”.

Hodge insåg att de faktiska mätningarna av flödet över regioner alltid bidrar till en särskild del av Hodge-dekompositionen, känd som (p,p)-delen. Han gissade att varje gång data visar ett bidrag till (p,p)-delen av Hodge-dekompositionen, kan mätningarna ha kommit från ett realistiskt scenario av ett system med flöde och förändring över en region.

Och, för att uttrycka detta som en analogi, skulle man kunna säga att Hodge fann ett kriterium för att testa falska data.

Om Hodges test kommer tillbaka positivt kan man vara säker på att uppgifterna är bedrägliga. Frågan i Hodges gissning är om det finns några bedrägliga uppgifter som Hodges test inte kommer att upptäcka. Hittills verkar Hodges test fungera.

Men vi har inte förstått tillräckligt väl varför det fungerar, och därför är möjligheten öppen att det kan finnas ett sätt att kringgå Hodges säkerhetsschema.

Hodge lade fram sin gissning 1950, och många av de ledande inom utvecklingen av geometrin har arbetat med detta grundläggande igenkänningsproblem. Själva problemet har stimulerat många andra förfinade tekniker för att mäta flöde, flöde och spridning.

Tates gissning från 1963 är en annan liknande igenkänningsfråga som kommer från en annan mätteknik, den l-adiska kohomologin som utvecklades av Alexander Grothendieck.

Det starkaste beviset för Hodges gissning är ett resultat från 1995 av Cattani, Deligne & Kaplan som studerar hur Hodge-dekompositionen uppför sig när en region muterar.

Klassiska kohomologimätningar påverkas inte av små mutationer, men Hodge-dekompositionen registrerar mutationer. Studien av Hodge-dekompositionen över mutationer ger en stor insikt i de mönster i data som måste förekomma vid verkliga mätningar.

På 1960-talet initierade Grothendieck en kraftfull teori som generaliserade det vanliga begreppet ”region” till att inkludera ”virtuella regioner” (motivteorin på vilka man skulle kunna mäta ”virtuella temperaturer” och ”virtuella magnetfält”.

I en vag mening försöker motivteorin angripa problemet genom att försöka tänka som en hackare. Grothendiecks ”standardkonjekturer” är långtgående generaliseringar av Hodge-konjekturen, som försöker förklara vilka virtuella områden som inte går att skilja från realistiska scenarier.

Frågan i Hodge-konjekturen har stimulerat utvecklingen av revolutionerande verktyg och tekniker för mätning och analys av data över regioner. Dessa verktyg har varit, och är fortfarande, grundläggande för den moderna utvecklingen.

Föreställ dig att du försöker bygga en mobiltelefon utan att förstå hur man mäter, analyserar och kontrollerar elektricitet och magnetism. Eller tänk dig att försöka upprätthålla en miljö utan ett sätt att mäta, analysera och upptäcka spridningen av gifter över regioner och i vattendrag.

Naturligtvis gör den lockande intrigen kring problem med igenkänning och upptäckt dem spännande. Stora hjärnor dras in och gör stora framsteg i ett försök att förstå vad som får allt att fungera.

Man skulle mycket rimligen kunna hävda att ju längre Hodge-konjekturen förblir ett olöst problem, desto mer nytta kommer det att göra för mänskligheten, genom att driva fram mer och mer förfinade tekniker för mätning och analys och stimulera utvecklingen av bättre och bättre metoder för att känna igen objekt från data.

The Clay Mathematics Institute gjorde klokt i att peka ut Hodge-konjekturen som ett problem som har förmågan att stimulera en omfattande utveckling av nya metoder och ny teknik och att inkludera det som ett av millennieproblemen.

Detta är den andra delen av serien om millenniepriset. För att läsa de andra delarna, följ länkarna nedan.

• Del ett: Millenniumpriset: Navier-Stokes existens- och unikhetsproblem
• Del tre: Millenniumpriset: P vs NP