1 INTRODUCERE

Acest capitol se referă la reprezentarea timpului și a schimbării în teoriile fizice clasice (adică, non-cuantice). Unul dintre obiectivele principale ale capitolului este încercarea de a clarifica natura și domeniul de aplicare a așa-numitei probleme a timpului: un nod de probleme tehnice și interpretative care par să stea în calea încercărilor de cuantificare a relativității generale și care își au rădăcinile în covarianța generală a acestei teorii.

Abordarea cea mai naturală a acestor întrebări este prin considerarea unor cazuri mai clare. Astfel, o mare parte a capitolului este dedicată unei discuții despre reprezentarea timpului și a schimbării în alte teorii, mai bine înțelese, începând cu cazurile cele mai simple și trecând prin examinarea cazurilor care ne pregătesc, într-un sens sau altul, pentru caracteristicile relativității generale care sunt responsabile de problema timpului.

Dați-mi voie să încep prin a spune câte ceva despre ce fel de lucruri am în vedere când vorbesc despre reprezentarea timpului și a schimbării în teoriile fizice, fundamentând discuția în cazul cel mai ușor de tratat dintre toate, fizica newtoniană.

Ca o chestiune perfect generală, multe întrebări și afirmații despre conținutul unei teorii fizice admit două interpretări – ca întrebări despre caracteristicile structurale ale soluțiilor ecuațiilor de mișcare ale teoriei sau ca întrebări despre caracteristicile structurale ale acestor ecuații. De exemplu, pe de o parte, timpul apare ca un aspect al spațiu-timpurilor în care se desfășoară fizica – adică, ca un aspect al fundalului în care se stabilesc soluțiile la ecuațiile teoriei. Pe de altă parte, timpul este reprezentat prin rolul său în legile fizicii – în special, prin rolul său în ecuațiile diferențiale care codifică aceste legi. Astfel, întrebările și afirmațiile despre natura timpului în teoriile fizice vor admite două tipuri de lectură.

Considerăm, de exemplu, afirmația că timpul este omogen în fizica newtoniană (sau, după cum ar spune Newton, că timpul curge în mod egal). Există două tipuri de fapte pe care le-am putea considera ca fundamentând această afirmație.

În cadrul newtonian, aceste două tipuri de considerații se îmbină frumos și se susțin reciproc: există o consistență între simetriile legilor și simetriile spațiu-timpului. Dar, în principiu, cele două tipuri de considerații nu trebuie neapărat să conducă la același tip de răspuns: se poate lua în considerare un sistem în spațiu-timpul newtonian care este supus unor forțe dependente de timp; sau se poate stabili problema newtoniană cu n corpuri într-un spațiu-timp care prezintă un moment preferat, dar care, în rest, are structura spațiului-timp newtonian. Și pe măsură ce ne îndepărtăm de cadrul familiar al fizicii newtoniene, devine și mai important să distingem cele două abordări: în relativitatea generală, legile au un grup enorm (într-adevăr, infinit-dimensional) de simetrii, în timp ce soluțiile generice nu au nici un fel de simetrii.

În discuția despre reprezentarea timpului și a schimbării, acest capitol se va concentra pe caracteristicile structurale ale legilor teoriilor fizice, mai degrabă decât pe caracteristicile soluțiilor particulare. Pentru a sublinia acest aspect, voi spune că sunt interesat de structura acestei sau acelei teorii ca teorie dinamică.

Voi aborda subiectele mele prin intermediul abordărilor lagrangiană și hamiltoniană ale teoriilor clasice, două mari cadre generale – și intim legate – în care astfel de subiecte sunt abordate în mod natural.4 În linii mari, în fiecare dintre aceste abordări, conținutul ecuațiilor unei teorii este codificat în anumite structuri pe un spațiu al posibilităților asociat teoriei.5 În abordarea lagrangiană, spațiul prezentat este spațiul soluțiilor la ecuațiile teoriei, pe care, în scopuri euristice, îl putem identifica cu spațiul lumilor posibile permise de teorie.6 În abordarea hamiltoniană, spațiul caracteristic este spațiul datelor inițiale pentru ecuațiile teoriei, pe care îl putem identifica, în același spirit, cu spațiul stărilor instantanee posibile permise de teorie6.

În mecanica newtoniană, reflectarea în cadrul lagrangian a invarianței legilor la translația în timp a legilor constă în faptul că spațiul soluțiilor este el însuși invariant la translațiile în timp: dat fiind un set de traiectorii de particule în spațiu-timp care se supun legilor de mișcare ale lui Newton, putem construi setul de traiectorii de particule care rezultă dacă toate evenimentele sunt translatate în timp cu suma t; acest din urmă set este o soluție (i.e., este permisă de legile mișcării) dacă și numai dacă primul set este; în plus, harta care ne poartă de la o soluție la traducerea sa în timp păstrează structura pe spațiul soluțiilor care codifică dinamica teoriei. În cadrul hamiltonian, pe de altă parte, invarianța traducerii în timp a legilor este reflectată de existența unei hărți care trimite un set de date inițiale la starea în care va evolua în t unități de timp; din nou, această hartă lasă invariantă structura pe spațiul care codifică dinamica teoriei. Astfel, simetria temporală a dinamicii teoriei este reflectată pe partea lagrangiană printr-o noțiune de translație temporală, iar pe partea hamiltoniană printr-o noțiune de evoluție temporală.

Reprezentarea schimbării în fizica newtoniană ia, de asemenea, forme diferite (dar strâns legate) în cadrul lagrangian și hamiltonian. Schimbarea constă în faptul că un sistem are proprietăți diferite și incompatibile în momente diferite. Vrem să spunem, de exemplu, că există o schimbare în proprietățile observabile ale unui sistem cu două corpuri dacă și numai dacă distanța relativă dintre particule este diferită în momente diferite.

Abordare hamiltoniană. Specificarea stării dinamice instantanee a unui astfel de sistem este suficientă pentru a specifica distanța relativă instantanee dintre particule. Există deci o funcție pe spațiul datelor inițiale corespunzătoare acestei mărimi. O istorie a sistemului este o traiectorie prin spațiul datelor inițiale. În exemplul nostru simplu, o schimbare observabilă are loc pe parcursul unei anumite istorii dacă și numai dacă funcția corespunzătoare distanței relative dintre particule ia valori diferite în diferite puncte de pe traiectoria în cauză. Mai general, în orice sistem newtonian, orice mărime de interes fizic (observabilă sau nu) este reprezentată de o funcție în spațiul datelor inițiale, iar o traiectorie în acest spațiu reprezintă astfel de mărimi ca fiind în schimbare dacă funcțiile corespunzătoare iau valori diferite în diferite puncte ale traiectoriei.

Abordare lagrangiană. În mod evident, nicio funcție din spațiul soluțiilor nu poate reprezenta o mărime schimbătoare în același mod direct în care o pot face funcțiile din spațiul datelor inițiale. Dar, pentru fiecare t, există o funcție pe spațiul soluțiilor problemei noastre cu două corpuri care atribuie fiecărei soluții distanța relativă dintre particule la momentul t în funcție de acea soluție. Lăsând t să varieze, construim o familie de funcții cu un singur parametru pe spațiul soluțiilor. O soluție a ecuațiilor de mișcare reprezintă distanța relativă dintre particule ca fiind schimbătoare dacă și numai dacă diferiți membri ai acestei familii de funcții cu un parametru iau valori diferite atunci când sunt evaluați pe soluția dată. Și așa mai departe în general: orice mărime fizică schimbătoare corespunde unei astfel de familii de funcții cu un singur parametru pe spațiul soluțiilor, iar schimbarea este înțeleasă ca în exemplul simplu cu două corpuri.

Atât despre genul de lucruri pe care le am în vedere când vorbesc despre reprezentarea timpului și a schimbării într-o teorie fizică. Înainte de a schița calea pe care o urmează acest capitol în discutarea acestor subiecte, poate că va fi util să spunem câte ceva despre scopul său final – clarificarea naturii așa-numitei probleme a timpului. Discuțiile despre problema timpului se concentrează de obicei pe versiunile hamiltoniene ale relativității generale, în care accentul se pune pe spațiul geometriilor instantanee posibile (metrici și a doua formă fundamentală pe suprafețe Cauchy). Acest lucru este oarecum nefericit, deoarece astfel de abordări necesită de la bun început o divizare a spațiu-timpului într-o familie de hipersuprafețe asemănătoare spațiului – ceea ce pare a fi împotriva spiritului înțelegerii obișnuite a covarianței generale a teoriei. În lumina acestui fapt, există loc de îngrijorare că unele aspecte ale problemei timpului, așa cum este prezentată de obicei, sunt consecințe ale acestui mod destul de ciudat de a proceda. Eu urmez o cale oarecum diferită, ancorându-mi întotdeauna discuția în abordarea lagrangiană, care ia ca fundamentală istoriile complete ale sistemelor mai degrabă decât stările instantanee.

Potrivirea dezvoltată mai jos este că, în linii mari, nucleul problemei timpului constă în faptul că în relativitatea generală, atunci când este înțeleasă în mod dinamic, nu există o modalitate de a considera evoluția timpului sau translația timpului ca simetrii ale teoriei și, în legătură cu aceasta, nu există o modalitate naturală de a modela schimbarea prin intermediul funcțiilor pe spațiile care apar în cadrul abordărilor lagrangiană și hamiltoniană.7 Acest lucru marchează un aspect în care relativitatea generală, astfel concepută, este foarte diferită de teoriile precedente cu aspect fundamental.

Problema timpului poate părea – nu foarte presantă. Cu siguranță, există nedumeriri aici. De ce ar trebui ca relativitatea generală să difere în acest fel de predecesorii săi? În predecesorii relativității generale, reprezentarea timpului și reprezentarea schimbării sunt legate împreună într-un pachet foarte bine pus la punct – cum arată înlocuitorul relativist general al acestui pachet? Acestea sunt întrebări interesante. Dar, desigur, nimeni nu ar trebui să se aștepte ca timpul să fie reprezentat în relativitatea generală la fel ca în predecesorii săi – faptul că aceasta prezintă o imagine complet nouă a timpului și a spațiului este una dintre gloriile teoriei. Și cineva ar putea, de asemenea, să se gândească: din moment ce structura spațiu-timpului variază de la o soluție la alta în relativitatea generală, este cu siguranță mai potrivit să ne uităm la reprezentarea timpului în această sau acea soluție realistă din punct de vedere fizic, mai degrabă decât în ecuațiile teoriei, dacă vrem să înțelegem ce ne spune teoria despre natura timpului în lumea noastră.

Problema timpului capătă însă un aspect mai presant atunci când ne gândim la cuantificarea relativității generale (sau a oricărei alte teorii care este în general covariantă în sensul relevant). Proiectul de a construi teorii succesoare ne concentrează în mod natural atenția asupra trăsăturilor structurale ale teoriilor aflate la îndemână – în construirea succesoarelor, se face un pariu cu privire la care astfel de trăsături ale teoriilor actuale vor supraviețui (poate într-o formă nouă) și care dintre ele vor fi lăsate în urmă. Iar tehnicile cunoscute de cuantificare necesită ca date de intrare nu doar ecuații diferențiale, ci și teorii exprimate în formă hamiltoniană sau lagrangiană. Astfel, pentru cei interesați de cuantificarea relativității generale, întrebările referitoare la structura teoriei ca teorie dinamică sunt, în mod natural, foarte importante. Iar în lipsa soluțiilor la enigmele menționate mai sus, ne așteptăm la dificultăți conceptuale în formularea (sau în extragerea predicțiilor din) orice cuantificare a relativității generale. Așadar, din această perspectivă, problema timpului este, de fapt, destul de presantă.

Acest capitol abordează pe o cale lungă problema timpului. Încep în secțiunea 2 cu cea mai scurtă introducere în mecanica hamiltoniană și lagrangiană, cu scopul de a motiva o parte din cele ce urmează. În secțiunea 3, schițez câteva concepte și rezultate importante ale geometriei simplectice, domeniul matematic care stă la baza mecanicii clasice. Conceptele introduse aici sunt cruciale pentru cele ce urmează: pentru teoriile bine comportate, spațiul soluțiilor (pe partea lagrangiană) și spațiul datelor inițiale (pe partea hamiltoniană) au ambele structuri simplectice. Și vom vedea că diverse spații simplectice (sau aproape simplectice) apar chiar și atunci când ne îndepărtăm de cazul ideal. În secțiunea 4, schițez cadrul foarte puternic al mecanicii lagrangiane moderne, cu aparatul său de legi de conservare locale.

În secțiunea 5, schițez imaginile lagrangiană și hamiltoniană pentru teoriile ideal bine comportate care satisfac următoarele condiții: (i) geometria spațiu-timp de fond admite un grup de translații temporale, iar lagrangianul teoriei este invariant (într-un sens adecvat) sub acțiunea acestui grup; (ii) specificarea datelor inițiale pentru ecuațiile teoriei este suficientă pentru a determina o singură soluție maximă; (iii) această soluție maximă este definită pentru toate valorile parametrului timp. Atunci când aceste condiții sunt îndeplinite, constatăm că există un grup de simetrii de translație în timp care acționează asupra spațiului soluțiilor pe partea lagrangiană, în timp ce pe partea hamiltoniană există un grup care implementează evoluția în timp pe spațiul datelor inițiale. Aceste două spații sunt izomorfe, iar cele două acțiuni de grup se întrepătrund într-un mod satisfăcător. Se poate da o explicație simplă și atractivă a modului în care este reprezentată schimbarea pe oricare dintre aceste două spații fundamentale.

În secțiunea 6, mă ocup de complicațiile care trebuie introduse în tablou atunci când se renunță la oricare dintre condițiile (i)-(iii) din paragraful anterior. În cele din urmă, în secțiunea 7, mă ocup de reprezentarea timpului și a schimbării în relativitatea generală. Aceasta conduce direct la problema timpului.

După cum arată clar această schiță, o mare parte a capitolului este dedicată expunerii de material tehnic. Pentru a păstra o lungime rezonabilă, a trebuit să presupun că cititorul vine la acest capitol cu un bagaj tehnic destul de bogat. Am încercat să scriu pentru un cititor ideal care a studiat anterior relativitatea generală sau teoria gauge și, prin urmare, se simte confortabil cu conceptele, rezultatele și construcțiile de bază ale geometriei diferențiale (deși în câteva puncte strategice am inclus discuții menite să împrospăteze memoria unor astfel de cititori).

Acest capitol se bazează pe abordarea geometrică modernă a mecanicii lagrangiane care este prezentată în cea mai sumară schiță în secțiunea 4. Această abordare, dezvoltată relativ recent de matematicieni, oferă un cadru extrem de abstract pentru a gândi despre teoriile fizice, mai degrabă decât o tratare complet riguroasă a unei anumite teorii. Ea există la nivel formal, diferențial-geometric: accentul este pus pe structura geometrică a diferitelor spații și pe conținutul geometric al ecuațiilor și construcțiilor; detaliile analitice funcționale sunt lăsate în suspensie. O mare parte din materialul schițat în alte secțiuni funcționează la același nivel.

În conținut, acest capitol se suprapune oarecum cu , , și . Dar este cel mai strâns legat de . Capitolul lui Butterfield oferă o introducere filosofică în abordările geometrice moderne ale mecanicii; capitolul de față se dorește a fi un exemplu de aplicare a acestei abordări la o problemă filosofică. Cu toate acestea, prezentul capitol se dorește a fi de sine stătător. Și există, de fapt, o diferență considerabilă de accent între acest capitol și cel al lui Butterfield: acesta din urmă se limitează la sistemele finit-dimensionale și se concentrează pe partea hamiltoniană a lucrurilor; capitolul de față este în primul rând preocupat de teoriile câmpului și se concentrează într-o măsură mult mai mare pe abordarea lagrangiană.

REMARCA 1 (Notație și terminologie).

Elementele și structurile din spațiul soluțiilor unei teorii a câmpului sunt întotdeauna indicate cu litere majuscule (grecești sau latinești), în timp ce elementele și structurile din spațiul datelor inițiale ale unei teorii a câmpului sunt întotdeauna indicate cu litere minuscule (grecești sau latinești). Caracterele îngroșate indică trei vectori sau funcții cu trei valori vectoriale. În acest capitol, o curbă este oficial o hartă din intervale de numere reale într-un spațiu care este o mulțime sau o generalizare ușoară a unei mulțimi – uneori, pentru a sublinia, numesc în mod redundant o curbă o curbă parametrizată. O curbă parametrizată afin este o clasă de echivalență a unor astfel de curbe, unde două curbe contează ca fiind echivalente dacă au aceeași imagine și parametrizarea lor concordă până la o alegere a originii.8 O curbă neparametrizată este o clasă de echivalență a curbelor, sub relația de echivalență unde curbele contează ca fiind echivalente dacă au aceeași imagine. Uneori confund o curbă și imaginea sa.

REMARCA 2 (Discuția despre lumile posibile).

Mai jos, în special în secțiunea 7, vorbesc uneori despre punctele din spațiul soluțiilor (date inițiale) ca reprezentând lumi posibile (stări instantanee posibile) permise de teorie, chiar dacă nu pretind să mă implic aici în chestiuni de interpretare fină. Acest tip de lucru este înțeles doar într-un mod aproximativ și euristic. Ideea este că, atunci când încercăm să înțelegem o teorie, suntem, în parte, angajați în căutarea unei formulări perspicue a teoriei; și este rezonabil să sperăm că, dacă o formulare este perspicace, atunci va exista o interpretare prima facie atractivă a teoriei, conform căreia există o bijecție între spațiul soluțiilor (date inițiale) și spațiul lumilor posibile (stări instantanee posibile) admise de teorie în cadrul acestei interpretări. Aceasta nu înseamnă a nega faptul că pot exista motive pentru a respinge în cele din urmă astfel de interpretări: un leibnizean ar putea să se mulțumească cu o formulare standard a mecanicii clasice, chiar dacă aceasta înseamnă a considera relația de reprezentare dintre soluții și lumi posibile ca fiind multiplă în virtutea faptului că soluțiile legate printr-o translație temporală trebuie să fie văzute ca corespunzând aceleiași lumi posibile.

.