1 WPROWADZENIE

Rozdział ten dotyczy reprezentacji czasu i zmiany w klasycznych (tj. niekwantowych) teoriach fizycznych. Jednym z głównych celów tego rozdziału jest próba wyjaśnienia natury i zakresu tak zwanego problemu czasu: węzła problemów technicznych i interpretacyjnych, które wydają się stać na drodze prób kwantyzacji ogólnej teorii względności, a które mają swoje korzenie w ogólnej kowariancji tej teorii.

Najbardziej naturalnym podejściem do tych pytań jest rozważenie bardziej przejrzystych przypadków. Tak więc znaczna część rozdziału poświęcona jest dyskusji na temat reprezentacji czasu i zmiany w innych, lepiej rozumianych teoriach, zaczynając od najprostszych przypadków i przechodząc przez rozważania przypadków, które przygotowują nas, w takim czy innym sensie, na cechy ogólnej teorii względności, które są odpowiedzialne za problem czasu.

Zacznę od tego, co mam na myśli mówiąc o reprezentacji czasu i zmiany w teoriach fizycznych, opierając dyskusję na najbardziej praktycznym przypadku ze wszystkich, fizyce newtonowskiej.

Jako rzecz zupełnie ogólną, wiele pytań i twierdzeń dotyczących treści teorii fizycznej można interpretować dwojako – jako pytania o cechy strukturalne rozwiązań równań ruchu tej teorii lub jako pytania o cechy strukturalne tych równań. Na przykład, z jednej strony czas pojawia się jako aspekt czasoprzestrzeni, w których rozwija się fizyka – czyli jako aspekt tła, w którym osadzone są rozwiązania równań teorii. Z drugiej strony, czas jest reprezentowany poprzez swoją rolę w prawach fizyki – w szczególności, w swojej roli w równaniach różniczkowych kodujących te prawa. Tak więc pytania i twierdzenia dotyczące natury czasu w teoriach fizycznych będą dopuszczały dwa rodzaje odczytań.

Rozważmy, na przykład, twierdzenie, że czas jest jednorodny w fizyce newtonowskiej (lub, jak ująłby to Newton, że czas płynie równomiernie). Istnieją dwa rodzaje faktów, na które moglibyśmy patrzeć jako na podstawę tego twierdzenia.

W środowisku newtonowskim te dwa rodzaje rozważań ładnie się zazębiają i wzajemnie wspierają: istnieje zgodność pomiędzy symetriami praw i symetriami czasoprzestrzeni. Ale w zasadzie te dwa rodzaje rozważań nie muszą prowadzić do tego samego rodzaju odpowiedzi: można rozważać układ w czasoprzestrzeni newtonowskiej, który podlega siłom zależnym od czasu; albo można postawić newtonowski problem n-ciał w czasoprzestrzeni, która posiada preferowany moment, ale poza tym ma strukturę czasoprzestrzeni newtonowskiej. A gdy oddalamy się od znanego otoczenia fizyki newtonowskiej, rozróżnienie tych dwóch podejść staje się jeszcze ważniejsze: w ogólnej teorii względności prawa mają ogromną (w istocie nieskończenie wymiarową) grupę symetrii, podczas gdy rozwiązania ogólne nie mają żadnych symetrii.

W dyskusji na temat reprezentacji czasu i zmiany, w tym rozdziale skupimy się raczej na strukturalnych cechach praw teorii fizycznych niż na cechach poszczególnych rozwiązań. Aby to podkreślić, będę mówił, że interesuje mnie struktura tej czy innej teorii jako teorii dynamicznej.

Podejdę do moich tematów poprzez Lagrangian i Hamiltonian podejścia do teorii klasycznych, dwa wielkie nadrzędne – i ściśle powiązane – ramy, w których takie tematy są naturalnie podejmowane.4 Z grubsza rzecz biorąc, w każdym z tych podejść treść równań teorii jest zakodowana w pewnych strukturach na przestrzeni możliwości związanych z teorią.5 W podejściu Lagrangiańskim przestrzeń cech jest przestrzenią rozwiązań równań teorii, którą dla celów heurystycznych możemy utożsamiać z przestrzenią możliwych światów dopuszczonych przez teorię.6 Po stronie hamiltonowskiej przestrzenią cechowaną jest przestrzeń danych początkowych dla równań teorii, którą w tym samym duchu możemy utożsamić z przestrzenią możliwych stanów chwilowych dopuszczalnych przez teorię.

W mechanice newtonowskiej, odzwierciedleniem w ramach Lagrangianu niezmienniczości praw ruchu względem czasu jest to, że przestrzeń rozwiązań jest sama w sobie niezmiennicza względem translacji czasowych: mając zbiór trajektorii cząstek w czasoprzestrzeni spełniających prawa ruchu Newtona, możemy skonstruować zbiór trajektorii cząstek, które powstają, jeżeli wszystkie zdarzenia są translokowane w czasie o wartość t; ten ostatni zbiór jest rozwiązaniem (tzn, jest dozwolony przez prawa ruchu) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy zbiór jest rozwiązaniem; ponadto mapa, która przenosi nas z rozwiązania do jego translacji czasowej, zachowuje strukturę na przestrzeni rozwiązań, która koduje dynamikę teorii. Z kolei w ramach hamiltonowskich niezmienniczość praw w translacji czasowej przejawia się w istnieniu mapy, która przesyła początkowy zbiór danych do stanu, w jaki przekształci się on w jednostce czasu t; również ta mapa pozostawia niezmienniczą strukturę na przestrzeni, która koduje dynamikę teorii. Tak więc symetria czasowa dynamiki teorii jest odzwierciedlona po stronie Lagrangiana przez pojęcie translacji czasowej, a po stronie Hamiltona przez pojęcie ewolucji czasowej.

Oprezentacja zmiany w fizyce newtonowskiej również przybiera różne (ale ściśle powiązane) formy w ramach Lagrangiana i Hamiltona. Zmiana polega na tym, że układ posiada różne i niezgodne własności w różnych czasach. Chcemy na przykład powiedzieć, że istnieje zmiana obserwowalnych własności układu dwóch ciał wtedy i tylko wtedy, gdy względna odległość między cząstkami jest różna w różnych czasach.

Podejście Hamiltonowskie. Określenie chwilowego stanu dynamicznego takiego układu wystarcza do określenia chwilowej odległości względnej między cząstkami. Istnieje więc funkcja na przestrzeni danych początkowych odpowiadająca tej wielkości. Historia układu to trajektoria przez przestrzeń danych początkowych. W naszym prostym przykładzie obserwowalna zmiana zachodzi w danej historii wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja odpowiadająca względnej odległości między cząstkami przyjmuje różne wartości w różnych punktach na danej trajektorii. Ogólniej, w każdym układzie Newtona, każda wielkość fizyczna (obserwowalna lub nie) jest reprezentowana przez funkcję w przestrzeni danych początkowych, a trajektoria w tej przestrzeni reprezentuje takie wielkości jako zmieniające się, jeśli odpowiadające im funkcje przyjmują różne wartości w różnych punktach trajektorii.

Podejście Lagrangianowe. Oczywiście, żadna funkcja w przestrzeni rozwiązań nie może reprezentować zmiennej wielkości w ten sam bezpośredni sposób, jak funkcje w przestrzeni danych początkowych. Ale dla każdego t istnieje funkcja na przestrzeni rozwiązań naszego problemu dwu ciał, która przypisuje każdemu rozwiązaniu względną odległość między cząstkami w czasie t zgodnie z tym rozwiązaniem. Pozwalając t się zmieniać, konstruujemy jednoparametrową rodzinę funkcji na przestrzeni rozwiązań. Rozwiązanie równań ruchu przedstawia względną odległość między cząstkami jako zmieniającą się wtedy i tylko wtedy, gdy różni członkowie tej jednoparametrowej rodziny funkcji przyjmują różne wartości, gdy są obliczane na danym rozwiązaniu. I tak dalej, bardziej ogólnie: każda zmienna wielkość fizyczna odpowiada takiej jednoparametrowej rodzinie funkcji na przestrzeni rozwiązań, a zmiana jest rozumiana tak, jak w prostym przykładzie dwóch ciał.

To tyle, jeśli chodzi o to, co mam na myśli mówiąc o reprezentacji czasu i zmiany w teorii fizycznej. Zanim naszkicuję drogę, jaką ten rozdział podąża przy omawianiu tych tematów, warto może powiedzieć nieco o jego ostatecznym celu – wyjaśnieniu natury tak zwanego problemu czasu. Dyskusje nad problemem czasu zazwyczaj koncentrują się na hamiltonowskich wersjach ogólnej teorii względności, w których w centrum uwagi znajduje się przestrzeń możliwych geometrii chwilowych (metryki i drugie formy fundamentalne na powierzchniach Cauchy’ego). Jest to trochę niefortunne, ponieważ takie podejścia wymagają od początku podziału czasoprzestrzeni na rodzinę hiperpowierzchni spacelike – co wydaje się być sprzeczne z duchem zwykłego rozumienia ogólnej kowariancji teorii. W świetle tego faktu można się obawiać, że niektóre aspekty problemu czasu, jak to się zwykle przedstawia, są konsekwencjami tego raczej niezręcznego sposobu postępowania. Podążam nieco inną ścieżką, zawsze zakotwiczając moją dyskusję w podejściu Lagrangianu, które za fundament przyjmuje kompletne historie układów, a nie stany chwilowe.

Pogląd rozwinięty poniżej jest taki, że, z grubsza rzecz biorąc, sedno problemu czasu polega na tym, że w ogólnej teorii względności, gdy jest ona rozumiana dynamicznie, nie ma sposobu, aby postrzegać ewolucję w czasie lub translację w czasie jako symetrie teorii i, co się z tym wiąże, nie ma naturalnego sposobu modelowania zmiany poprzez funkcje na przestrzeniach powstających w podejściu Lagrangianu i Hamiltonianu.7 Jest to jeden z aspektów, w którym ogólna teoria względności, tak rozumiana, bardzo różni się od poprzednich fundamentalnie wyglądających teorii.

Problem czasu może brzmieć – niezbyt pilnie. Niewątpliwie, są tu zagadki. Dlaczego ogólna teoria względności miałaby różnić się w ten sposób od swoich poprzedników? W poprzednikach ogólnej teorii względności, reprezentacja czasu i reprezentacja zmiany są powiązane razem w bardzo zgrabny pakiet – jak wygląda ogólny relatywistyczny zamiennik tego pakietu? To są interesujące pytania. Ale oczywiście nikt nie powinien oczekiwać, że czas w ogólnej teorii względności będzie reprezentowany tak samo jak w jej poprzedniczkach – to, że przedstawia ona zupełnie nowy obraz czasu i przestrzeni, jest jedną z największych zalet tej teorii. Można też pomyśleć: skoro struktura czasoprzestrzeni zmienia się w zależności od rozwiązania ogólnej teorii względności, to jeśli chcemy zrozumieć, co teoria ta mówi nam o naturze czasu w naszym świecie, to z pewnością bardziej stosowne jest przyjrzenie się reprezentacji czasu w tym czy innym fizycznie realistycznym rozwiązaniu, a nie w równaniach teorii.

Problem czasu nabiera jednak bardziej palącego wymiaru, gdy rozważamy kwantyzację ogólnej teorii względności (lub jakiejkolwiek innej teorii, która jest ogólnie kowariantna w odpowiednim sensie). Projekt konstruowania następnych teorii w naturalny sposób koncentruje naszą uwagę na strukturalnych cechach teorii, którymi się zajmujemy – konstruując następców, zakładamy się o to, które z tych cech obecnych teorii przetrwają (być może w nowej formie), a które pozostaną w tyle. A znane techniki kwantyzacji wymagają jako danych wejściowych nie tylko równań różniczkowych, ale i teorii w postaci hamiltonowskiej lub lagrangowskiej. Dla zainteresowanych kwantyzacją ogólnej teorii względności pytania o strukturę teorii jako teorii dynamicznej są więc naturalnie bardzo ważne. A jeśli nie ma rozwiązań tych zagadek, można się spodziewać trudności pojęciowych w formułowaniu (lub wyprowadzaniu przewidywań z) jakiejkolwiek kwantyzacji ogólnej teorii względności. Tak więc z tej perspektywy problem czasu jest w istocie dość palący.

Rozdział ten podejmuje długą drogę do problemu czasu. Zaczynam w sekcji 2 od najkrótszego wprowadzenia do mechaniki Hamiltonowskiej i Lagrangianowej, aby umotywować niektóre z poniższych rozważań. W rozdziale 3 szkicuję niektóre ważne pojęcia i wyniki geometrii symplektycznej, dziedziny matematyki, która leży u podstaw mechaniki klasycznej. Wprowadzone tu pojęcia są kluczowe dla tego, co będzie dalej: dla dobrze zachowujących się teorii, przestrzeń rozwiązań (po stronie Lagrangiana) i przestrzeń danych początkowych (po stronie Hamiltonianu) mają struktury symplektyczne. Zobaczymy, że różne symplektyczne (lub prawie symplektyczne) przestrzenie powstają nawet wtedy, gdy odchodzimy od idealnego przypadku. W rozdziale 4, szkicuję bardzo potężne ramy współczesnej mechaniki Lagrangianowej, z jej aparatem lokalnych praw zachowania.

W rozdziale 5, szkicuję obrazy Lagrangianu i Hamiltonianu dla idealnie dobrze zachowujących się teorii spełniających następujące warunki: (i) geometria czasoprzestrzeni tła dopuszcza grupę translacji czasowych, a Lagrangian teorii jest niezmienniczy (w odpowiednim sensie) pod działaniem tej grupy; (ii) podanie danych początkowych dla równań teorii wystarcza do wyznaczenia jednego maksymalnego rozwiązania; (iii) to maksymalne rozwiązanie jest określone dla wszystkich wartości parametru czasu. Gdy spełnione są te warunki, okazuje się, że istnieje grupa symetrii translacji czasowej działająca na przestrzeń rozwiązań po stronie Lagrangiana, natomiast po stronie Hamiltonowskiej istnieje grupa realizująca ewolucję czasową na przestrzeni danych początkowych. Te dwie przestrzenie są izomorficzne, a działania obu grup przeplatają się w satysfakcjonujący sposób. Można podać prosty i atrakcyjny opis sposobu, w jaki zmiana jest reprezentowana na każdej z tych dwóch fundamentalnych przestrzeni.

W sekcji 6, przechodzę do komplikacji, które muszą być wprowadzone do obrazu, gdy jeden z warunków (i)-(iii) z poprzedniego paragrafu odpada. Wreszcie w rozdziale 7 zajmuję się reprezentacją czasu i zmiany w ogólnej teorii względności. Prowadzi to bezpośrednio do problemu czasu.

Jak wynika z tego zarysu, znaczna część rozdziału poświęcona jest ekspozycji materiału technicznego. Aby utrzymać długość rozsądny, musiałem założyć, że czytelnik przychodzi do tego rozdziału z dość trochę technicznego tła. Starałem się pisać dla idealnego czytelnika, który wcześniej studiował ogólną teorię względności lub teorię gauge’a, a więc czuje się dobrze z podstawowymi pojęciami, wynikami i konstrukcjami geometrii różniczkowej (chociaż w kilku strategicznych punktach włączyłem dyskusję mającą na celu rozruszanie pamięci takich czytelników).

Rozdział ten opiera się na nowoczesnym geometrycznym podejściu do mechaniki Lagrangiana, które jest przedstawione w najprostszym szkicu w rozdziale 4. Podejście to, rozwinięte stosunkowo niedawno przez matematyków, dostarcza raczej wysoce abstrakcyjnych ram dla myślenia o teoriach fizycznych niż w pełni rygorystycznego traktowania jakiejkolwiek teorii. Istnieje ono na poziomie formalnym, różniczkowo-geometrycznym: nacisk jest położony na geometryczną strukturę różnych przestrzeni oraz na geometryczną zawartość równań i konstrukcji; szczegóły analityki funkcjonalnej są trzymane w zawieszeniu. Duża część materiału naszkicowanego w innych rozdziałach funkcjonuje na tym samym poziomie.

W treści, ten rozdział pokrywa się nieco z , , i . Ale jest on najbardziej zbliżony do . Rozdział Butterfielda stanowi filozoficzne wprowadzenie do nowoczesnego geometrycznego podejścia do mechaniki; obecny rozdział jest pomyślany jako przykład zastosowania tego podejścia do problemu filozoficznego. Niniejszy rozdział ma być jednak samodzielny. I w rzeczywistości istnieje znaczna różnica w nacisku między tym rozdziałem a Butterfielda: ten ostatni jest ograniczony do systemów skończenie wymiarowych, i koncentruje się na Hamiltonian stronie rzeczy; obecny rozdział jest przede wszystkim dotyczy teorii pola, i koncentruje się w znacznie większym stopniu na Lagrangian podejścia.

Uwaga 1 (Notacja i terminologia).

Elementy i struktury na przestrzeni rozwiązań teorii pola są zawsze oznaczane dużymi literami (greckimi lub łacińskimi), natomiast elementy i struktury na przestrzeni danych początkowych teorii pola są zawsze oznaczane małymi literami (greckimi lub łacińskimi). Pogrubioną czcionką oznaczamy trójwektory lub funkcje trójwektorowo-wartościowe. W tym rozdziale krzywa jest oficjalnie mapą z przedziałów liczb rzeczywistych na przestrzeń, która jest rozmaitością lub łagodnym uogólnieniem rozmaitości – czasami dla podkreślenia niepotrzebnie nazywam krzywą krzywą sparametryzowaną. Krzywa afinicznie sparametryzowana jest klasą równoważności takich krzywych, gdzie dwie krzywe są równoważne, jeśli mają ten sam obraz i ich parametryzacja zgadza się aż do wyboru początku.8 Krzywa nieparametryzowana jest klasą równoważności krzywych, na mocy relacji równoważności, gdzie krzywe są równoważne, jeśli mają ten sam obraz. Czasami mylę krzywą i jej obraz.

Uwaga 2 (Possible Worlds Talk).

Poniżej, szczególnie w rozdziale 7, czasami mówię o punktach przestrzeni rozwiązań (danych początkowych) jako reprezentujących możliwe światy (możliwe stany chwilowe) dozwolone przez teorię, mimo że nie pretenduję do zajmowania się tutaj drobiazgowymi sprawami interpretacji. Tego rodzaju rzeczy są rozumiane jedynie w sposób przybliżony i heurystyczny. Chodzi o to, że próbując zrozumieć jakąś teorię, po części zajmujemy się poszukiwaniem jej przejrzystego sformułowania; i można mieć nadzieję, że jeśli takie sformułowanie jest przejrzyste, to będzie istniała prima facie atrakcyjna interpretacja teorii, zgodnie z którą istnieje bijekcja między przestrzenią rozwiązań (danych początkowych) a przestrzenią możliwych światów (możliwych stanów chwilowych) dopuszczanych przez teorię w ramach tej interpretacji. Nie oznacza to zaprzeczenia, że mogą istnieć powody, aby ostatecznie odrzucić takie interpretacje: Leibnizjanin może zadowolić się standardowym sformułowaniem mechaniki klasycznej, nawet jeśli oznacza to postrzeganie relacji reprezentacji między rozwiązaniami i światami możliwymi jako relacji wiele do jednego ze względu na fakt, że rozwiązania powiązane przez translację czasową muszą być postrzegane jako odpowiadające temu samemu możliwemu światu.

.