MILLENNIUM PRIZE SERIES: ミレニアム賞問題とは、2000年にクレイ数学研究所が提示した7つの数学の問題です。 簡単な問題ではなく、1つでも正解すると、研究所から100万ドルの賞金が授与されます。

ロシアの数学者グリゴリ・ペレルマンは、問題のひとつであるポアンカレ予想を解き、昨年3月18日に賞を授与されました。 有名な話ですが、彼は 100 万ドルのミレニアム賞を辞退しました。

今後数週間にわたり、オーストラリア数学研究所 (AMSI) のメンバー機関の専門家が、これらの問題のそれぞれに光を当てます。 1226>

数学を大きく2つに分けると、「測るための道具」と「認識するための道具」になります。

例えるなら、測るための道具とは、対象についてのデータを収集する技術、「ブレた写真を撮る」ような過程です。 認識のための道具は、「データの山やぼやけた写真が与えられたとき、そのデータからどのようにそのオブジェクトを認識できるか」を扱う。

代数幾何学の大きな未解決問題であるホッジ予想も、認識を扱っている。

William Vallance Douglas Hodge はケンブリッジ大学の教授で、1940 年代にコホモロジーの改良版の開発に取り組み、表面の境界を越える流れやフラックス（たとえば、膜を越える流体の流れ）を測定するツールを開発しました。

コホモロジーの古典的なバージョンは、電気や磁気の流れや分散の理解に使用されています（たとえば、電荷や電流が電場や磁場の起源としてどのように作用するかを記述したマクスウェル方程式）。 これらはホッジによって、現在「コホモロジーのホッジ分解」と呼ばれているものに改良された。

ホッジは、領域間の流れの実際の測定が、常にホッジ分解の特定の部分（(p,p) 部分として知られている）に寄与することを認識した。 彼は、データがホッジ分解の(p,p)部分に寄与しているときはいつでも、その測定は地域全体の流束と変化のシステムという現実的なシナリオから得られたものである可能性があると推測したのである。

あるいは、これを例えるなら、ホッジは不正なデータをテストする基準を見つけたと言えるかもしれません。

ホッジのテストが陽性と出れば、そのデータは不正であると確信できる。 ホッジ予想の問題は、ホッジのテストが検出できないような不正なデータがあるかどうかである。 今のところ、Hodgeのテストはうまくいっているようだ。

しかし、なぜうまくいくのかについては十分に理解されていないので、ホッジの安全策を回避する方法がある可能性もある。

ホッジは1950年にこの予想を発表したが、幾何学の発展における多くの指導者がこの基本認識問題に取り組んだ。 この問題自体が、流れ、流束、分散を測定するための他の多くの洗練された技術を刺激してきた。

テイトの1963年の予想も、アレクサンダー・グローテンディークの開発したl-adicコホモロジーという別の測定技術から生まれた同様の認識問題です。

ホッジ予想を支持する最も強い証拠は、領域の変異に対してホッジ分解がどう振る舞うかを研究したカターニ、デリンゲ&カプランによる1995年の結果です。

古典的なコホモロジー測定は小さな変異に影響されないが、ホッジ分解は変異を記録する。

1960年代にグロテンディークは、通常の「領域」の概念を一般化し、「仮想領域」（「仮想温度」や「仮想磁場」を測定できるモティーフの理論）を含む強力な理論を開始しました。

漠然とした意味ですが、動機の理論はハッカーのように考えて問題を攻略しようとしているのです。 グロテンディークの「標準予想」は、ホッジ予想の遠大な一般化で、どの仮想領域が現実のシナリオと区別がつかないかを説明しようとするもので、「標準予想」と呼ばれる。

ホッジ予想の疑問は、領域をまたがるデータの測定や分析のための画期的なツールや技術の開発を刺激した。 6293>

電気や磁気の測定、分析、制御方法を理解せずに、携帯電話を作ろうとすることを想像してみてください。 あるいは、地域や水路における毒物の広がりを測定、分析、検出する方法なしに、環境を維持しようとすることを想像してみてください。

もちろん、認識や検出の問題には興味をそそられるものがあり、スリリングです。 もちろん、認識や検出の問題には興味をそそられるものがあり、スリリングなものとなっている。

ホッジ予想が未解決のままであればあるほど、測定と解析のためのより洗練された技術を推進し、データからオブジェクトを認識するためのより優れた方法の開発を刺激し、人類にとって良いことだと、非常に合理的に主張することもできるでしょう。

クレイ数学研究所が、ホッジ予想を新しい手法や技術の開発を広く刺激する能力のある問題としてピンポイントで取り上げ、ミレニアム問題の一つとして取り上げたのは賢明なことであった。

• 第一部：ミレニアム賞：ナヴィエ・ストークス存在と一意性の問題
• 第三部：ミレニアム賞：ナヴィエ・ストークス存在と一意性の問題。 ミレニアム賞 P vs NP