SÉRIE DES PRIX DU MILLÉNAIRE : Les problèmes du prix du millénaire sont sept problèmes de mathématiques énoncés par l’Institut mathématique Clay en 2000. Ils ne sont pas faciles – une solution correcte à l’un d’entre eux entraîne l’attribution d’un prix de 1 000 000 de dollars US par l’institut.

Le mathématicien russe Grigori Perelman a reçu le prix le 18 mars dernier pour avoir résolu l’un des problèmes, la conjecture de Poincaré – jusqu’à présent le seul problème résolu. Célèbre, il a refusé le prix du millénaire de 1 000 000 $.

Au cours des prochaines semaines, chacun de ces problèmes sera éclairé par des experts des institutions membres de l’Institut australien des sciences mathématiques (AMSI).

Voici, le professeur Arun Ram explique la conjecture de Hodge. Appréciez.

Si l’on divise grossièrement les mathématiques en deux parties, elles seraient : les outils de mesure et les outils de reconnaissance.

Pour utiliser une analogie, les outils de mesure sont les technologies de collecte de données sur un objet, le processus de « prise d’une photographie floue ». Les outils de reconnaissance traitent de ce qui suit : si l’on vous donne un tas de données ou une photographie floue, comment peut-on reconnaître l’objet dont elle provient à partir des données ?

La conjecture de Hodge – un problème majeur non résolu en géométrie algébrique – traite de la reconnaissance.

William Vallance Douglas Hodge était un professeur à Cambridge qui, dans les années 1940, a travaillé au développement d’une version raffinée de la cohomologie – des outils pour mesurer le flux et l’écoulement à travers les frontières des surfaces (par exemple, l’écoulement des fluides à travers les membranes).

Les versions classiques de la cohomologie sont utilisées pour la compréhension du flux et de la dispersion de l’électricité et du magnétisme (par exemple, les équations de Maxwell, qui décrivent comment les charges et les courants électriques agissent comme origines des champs électriques et magnétiques). Celles-ci ont été affinées par Hodge dans ce qui est maintenant appelé la « décomposition de Hodge de la cohomologie ».

Hodge a reconnu que les mesures réelles du flux à travers les régions contribuent toujours à une partie particulière de la décomposition de Hodge, connue sous le nom de partie (p,p). Il a conjecturé que chaque fois que les données affichent une contribution à la partie (p,p) de la décomposition de Hodge, les mesures pourraient provenir d’un scénario réaliste d’un système de flux et de changement à travers une région.

Ou, pour faire une analogie, on pourrait dire que Hodge a trouvé un critère pour tester les données frauduleuses.

Si le test de Hodge revient positif, on peut être sûr que les données sont frauduleuses. La question dans la conjecture de Hodge est de savoir s’il existe des données frauduleuses que le test de Hodge ne détectera pas. Jusqu’à présent, le test de Hodge semble fonctionner.

Mais nous n’avons pas assez bien compris pourquoi il fonctionne, et donc la possibilité est ouverte qu’il pourrait y avoir un moyen de contourner le schéma de sécurité de Hodge.

Hodge a fait sa conjecture en 1950, et beaucoup des leaders dans le développement de la géométrie ont travaillé sur ce problème de reconnaissance de base. Le problème lui-même a stimulé beaucoup d’autres techniques raffinées pour mesurer l’écoulement, le flux et la dispersion.

La conjecture de Tate de 1963 est une autre question de reconnaissance similaire issue d’une autre technique de mesure, la cohomologie l-adique développée par Alexander Grothendieck.

La preuve la plus forte en faveur de la conjecture de Hodge est un résultat de 1995 de Cattani, Deligne & Kaplan qui étudie comment la décomposition de Hodge se comporte lorsqu’une région mute.

Les mesures de cohomologie classiques ne sont pas affectées par les petites mutations, mais la décomposition de Hodge enregistre les mutations. L’étude de la décomposition de Hodge à travers les mutations fournit un grand aperçu des modèles de données qui doivent se produire dans les vraies mesures.

Dans les années 1960, Grothendieck a initié une puissante théorie généralisant le concept habituel de « région » pour inclure des « régions virtuelles » (la théorie des motifs sur lesquels on pourrait mesurer des « températures virtuelles » et des « champs magnétiques virtuels ».

Dans un sens vague, la théorie des motifs tente d’attaquer le problème en essayant de penser comme un hacker. Les « conjectures standard » de Grothendieck sont des généralisations poussées de la conjecture de Hodge, qui tentent d’expliquer quelles régions virtuelles sont indiscernables des scénarios réalistes.

La question de la conjecture de Hodge a stimulé le développement d’outils et de techniques révolutionnaires pour la mesure et l’analyse des données à travers les régions. Ces outils ont été, et continuent d’être, fondamentaux pour le développement moderne.

Imaginez essayer de construire un téléphone portable sans comprendre comment mesurer, analyser et contrôler l’électricité et le magnétisme. Ou encore, imaginez essayer de soutenir un environnement sans pouvoir mesurer, analyser et détecter la propagation des toxines à travers les régions et dans les cours d’eau.

Bien sûr, l’intrigue alléchante autour des problèmes de reconnaissance et de détection les rend passionnants. Les grands esprits sont attirés et produisent de grandes avancées dans un effort pour comprendre ce qui fait que tout cela fonctionne.

On pourrait, très raisonnablement, prétendre que plus longtemps la conjecture de Hodge restera un problème non résolu, plus elle fera du bien à l’humanité, entraînant des techniques de mesure et d’analyse de plus en plus raffinées et stimulant le développement de méthodes de reconnaissance d’objets de plus en plus performantes à partir des données.

L’Institut mathématique Clay a été sage en épinglant la conjecture de Hodge comme un problème qui a la capacité de stimuler le développement étendu de nouvelles méthodes et technologies et en l’incluant comme l’un des problèmes du millénaire.

Ceci est la deuxième partie de la série des prix du millénaire. Pour lire les autres volets, suivez les liens ci-dessous.

• Partie un : Prix du millénaire : le problème d’existence et d’unicité de Navier-Stokes
• Partie trois : Prix du Millénaire : P vs NP