MILLENNIUM-palkintosarja: Millennium-palkinto-ongelmat ovat seitsemän matematiikan ongelmaa, jotka Clay Mathematics Institute asetti vuonna 2000. Ne eivät ole helppoja – oikean ratkaisun löytäminen johonkin niistä johtaa instituutin myöntämään 1 000 000 dollarin palkintoon.

Venäläinen matemaatikko Grigori Perelman sai palkinnon 18. maaliskuuta viime vuonna ratkaistessaan yhden ongelmista, Poincarén arvelun – toistaiseksi ainoan ratkaistun ongelman. Tunnetusti hän kieltäytyi 1 000 000 dollarin Millennium-palkinnosta.

Tulevina viikkoina Australian matemaattisten tieteiden instituutin (AMSI) jäsenlaitosten asiantuntijat valaisevat kutakin näistä ongelmista.

Tässä professori Arun Ram selittää Hodge-konjektuurin. Nauttikaa.

Jos matematiikka jaetaan karkeasti kahteen osaan, ne olisivat: mittaustyökalut ja tunnistustyökalut.

Käyttääkseni analogiaa, mittaustyökalut ovat tekniikoita, joiden avulla voidaan kerätä tietoa jostakin kohteesta, eli prosessi, jossa ”otetaan epäselvä valokuva”. Tunnistamisen työkalut käsittelevät seuraavaa: jos sinulle annetaan kasa dataa tai epäselvä valokuva, miten datasta voidaan tunnistaa kohde, josta se on peräisin?

Hodgen konjektuuri – algebrallisen geometrian merkittävä ratkaisematon ongelma – käsittelee tunnistamista.

William Vallance Douglas Hodge oli Cambridgen professori, joka työskenteli 1940-luvulla kehittämässä kohomologian hienostunutta versiota – työkaluja, joilla voidaan mitata virtausta ja virtausta pintojen rajojen yli (esimerkiksi nestevirtausta kalvojen yli).

Klassisia kohomologian versioita käytetään sähkön ja magnetismin virtauksen ja leviämisen ymmärtämiseen (esimerkiksi Maxwellin yhtälöt, jotka kuvaavat, miten sähkövaraukset ja -virrat toimivat sähkö- ja magneettikenttien lähteinä). Hodge tarkensi niitä niin sanotussa ”kohomologian Hodge-dekompositiossa”.

Hodge tunnusti, että todelliset mittaukset virtauksesta alueiden välillä vaikuttavat aina tiettyyn Hodge-dekomposition osaan, jota kutsutaan (p,p)-osaksi. Hän arveli, että aina kun datassa näkyy kontribuutio Hodgen dekomposition (p,p)-osaan, mittaukset ovat voineet olla peräisin realistisesta skenaariosta, jossa alueen yli kulkeva virtaus ja muutos on systeemi.

Vai analogisesti sanottuna voisi sanoa, että Hodge löysi kriteerin, jolla voidaan testata väärennettyjä tietoja.

Jos Hodgen testi antaa positiivisen tuloksen, voidaan olla varmoja, että data on vilpillistä. Kysymys Hodgen konjektuurissa on, onko olemassa vilpillistä dataa, jota Hodgen testi ei havaitse. Toistaiseksi Hodgen testi näyttää toimivan.

Mutta emme ole ymmärtäneet tarpeeksi hyvin, miksi se toimii, ja siksi on mahdollista, että on olemassa keino kiertää Hodgen turvajärjestelmä.

Hodge esitti konjektuurinsa vuonna 1950, ja monet geometrian kehityksen johtajat ovat työskennelleet tämän perustavanlaatuisen tunnistamisongelman parissa. Ongelma itsessään on antanut virikkeitä monille muille hienostuneille tekniikoille virtauksen, virtauksen ja hajonnan mittaamiseksi.

Taten vuoden 1963 konjektuuri on toinen samankaltainen tunnistuskysymys, joka on lähtöisin toisesta mittaustekniikasta, Alexander Grothendieckin kehittämästä l-adisesta kohomologiasta.

Vahvin todiste Hodgen konjektuurin puolesta on Cattani, Deligne & Kaplanin vuonna 1995 tekemä tulos & Kaplan, joka tutkii, miten Hodgen dekompositio käyttäytyy, kun alue muuntuu.

Klassisiin kohomologiamittauksiin pienet mutaatiot eivät vaikuta, mutta Hodgen hajoaminen rekisteröi mutaatiot. Hodge-dekomposition tutkiminen mutaatioiden yli antaa suuren ymmärryksen datan kuvioista, joiden täytyy esiintyä todellisissa mittauksissa.

Grothendieck aloitti 1960-luvulla tehokkaan teorian, joka yleisti tavanomaisen käsitteen ”alue” koskemaan myös ”virtuaalisia alueita” (motiivien teoriaa, jolla voitaisiin mitata ”virtuaalisia lämpötiloja” ja ”virtuaalisia magneettikenttiä”.

Epämääräisessä mielessä motiiviteoria yrittää hyökätä ongelmaan yrittämällä ajatella kuin hakkeri. Grothendieckin ”vakioejektuurit” ovat pitkälle meneviä yleistyksiä Hodgen konjektuurista, jotka yrittävät selittää, mitkä virtuaalialueet ovat erottamattomia realistisista skenaarioista.

Hodgen konjektuurin kysymys on kannustanut kehittämään vallankumouksellisia työkaluja ja tekniikoita alueiden välisen datan mittaamiseen ja analysointiin. Nämä välineet ovat olleet ja ovat edelleen perustavanlaatuisia nykyaikaiselle kehitykselle.

Kuvittele, että yrittäisit rakentaa matkapuhelimen ilman ymmärrystä siitä, miten sähköä ja magnetismia mitataan, analysoidaan ja hallitaan. Vaihtoehtoisesti voitte kuvitella yrittävänne ylläpitää ympäristöä ilman tapaa mitata, analysoida ja havaita myrkkyjen leviäminen eri alueilla ja vesistöissä.

Tunnistus- ja havaitsemisongelmiin liittyvä kutkuttava juonittelu tekee niistä tietenkin jännittäviä. Suuret mielet ovat kiinnostuneita ja tekevät suuria edistysaskeleita yrittäessään ymmärtää, miksi kaikki toimii.

Voidaan hyvin perustellusti väittää, että mitä kauemmin Hodgen arvelu pysyy ratkaisemattomana ongelmana, sitä enemmän hyötyä siitä on ihmiskunnalle, sillä se edistää yhä hienostuneempia mittaus- ja analyysitekniikoita ja kannustaa kehittämään yhä parempia menetelmiä kohteiden tunnistamiseksi datasta.

Clay Mathematics Institute oli viisas, kun se määritteli Hodge-epäilyn ongelmaksi, jolla on kyky edistää uusien menetelmien ja tekniikoiden laajaa kehittämistä, ja sisällytti sen yhdeksi vuosituhannen vaihteen ongelmista.

Tämä on vuosituhannen vaihteen palkintosarjan toinen osa. Voit lukea muut osat alla olevista linkeistä.

• Ykkösosa: Millennium-palkinto: Navier-Stokesin olemassaolo- ja yksikäsitteisyysongelma
• Kolmas osa: Millennium-palkinto: P vs NP