Serie de Premios del Milenio: Los Problemas del Premio del Milenio son siete problemas matemáticos planteados por el Instituto de Matemáticas Clay en el año 2000. No son fáciles: la solución correcta de cualquiera de ellos da lugar a un premio de 1.000.000 de dólares otorgado por el instituto.

El matemático ruso Grigori Perelman recibió el premio el 18 de marzo del año pasado por resolver uno de los problemas, la conjetura de Poincaré, que es el único que se ha resuelto hasta ahora. Como es sabido, rechazó el Premio del Milenio, dotado con 1.000.000 de dólares.

En las próximas semanas, los expertos de las instituciones miembros del Instituto Australiano de Ciencias Matemáticas (AMSI) explicarán cada uno de estos problemas.

Aquí, el profesor Arun Ram explica la Conjetura de Hodge. Disfruten.

Si uno divide groseramente las matemáticas en dos partes serían: herramientas para la medición y herramientas para el reconocimiento.

Por utilizar una analogía, las herramientas para la medición son las tecnologías para recoger datos sobre un objeto, el proceso de «tomar una fotografía borrosa». Las herramientas para el reconocimiento se ocupan de lo siguiente: si te dan un montón de datos o una fotografía borrosa, ¿cómo se puede reconocer el objeto del que procede a partir de los datos?

La conjetura de Hodge -un importante problema sin resolver de la geometría algebraica- se ocupa del reconocimiento.

William Vallance Douglas Hodge fue un profesor de Cambridge que, en la década de 1940, trabajó en el desarrollo de una versión refinada de la cohomología – herramientas para medir el flujo y el caudal a través de los límites de las superficies (por ejemplo, el flujo de fluidos a través de las membranas).

Las versiones clásicas de la cohomología se utilizan para la comprensión del flujo y la dispersión de la electricidad y el magnetismo (por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell, que describen cómo las cargas y las corrientes eléctricas actúan como orígenes de los campos eléctricos y magnéticos). Estas fueron refinadas por Hodge en lo que ahora se llama la «descomposición de Hodge de la cohomología».

Hodge reconoció que las medidas reales del flujo a través de las regiones siempre contribuyen a una parte particular de la descomposición de Hodge, conocida como la parte (p,p). Conjeturó que cada vez que los datos muestran una contribución a la parte (p,p) de la descomposición de Hodge, las mediciones podrían haber procedido de un escenario realista de un sistema de flujo y cambio a través de una región.

O, para poner esto como una analogía, uno podría decir que Hodge encontró un criterio para probar los datos fraudulentos.

Si la prueba de Hodge resulta positiva, puedes estar seguro de que los datos son fraudulentos. La cuestión en la conjetura de Hodge es si hay algún dato fraudulento que la prueba de Hodge no detecte. Hasta ahora, la prueba de Hodge parece funcionar.

Pero no hemos entendido lo suficientemente bien por qué funciona, por lo que está abierta la posibilidad de que haya una forma de burlar el esquema de seguridad de Hodge.

Hodge hizo su conjetura en 1950, y muchos de los líderes en el desarrollo de la geometría han trabajado en este problema básico de reconocimiento. El problema en sí ha estimulado muchas otras técnicas refinadas para medir el flujo, el caudal y la dispersión.

La conjetura de Tate de 1963 es otra cuestión de reconocimiento similar que surge de otra técnica de medición, la cohomología l-ádica desarrollada por Alexander Grothendieck.

La evidencia más fuerte a favor de la conjetura de Hodge es un resultado de 1995 de Cattani, Deligne & Kaplan que estudia cómo se comporta la descomposición de Hodge cuando una región muta.

Las medidas de cohomología clásicas no se ven afectadas por pequeñas mutaciones, pero la descomposición de Hodge sí registra mutaciones. El estudio de la descomposición de Hodge a través de las mutaciones proporciona una gran visión de los patrones en los datos que deben ocurrir en las mediciones verdaderas.

En la década de 1960, Grothendieck inició una poderosa teoría que generalizaba el concepto habitual de «región» para incluir «regiones virtuales» (la teoría de los motivos en los que se podían medir «temperaturas virtuales» y «campos magnéticos virtuales».

En un sentido vago, la teoría de los motivos intenta atacar el problema tratando de pensar como un hacker. Las «conjeturas estándar» de Grothendieck son generalizaciones de gran alcance de la conjetura de Hodge, que tratan de explicar qué regiones virtuales son indistinguibles de los escenarios realistas.

La cuestión de la conjetura de Hodge ha estimulado el desarrollo de herramientas y técnicas revolucionarias para la medición y el análisis de datos entre regiones. Estas herramientas han sido, y siguen siendo, fundamentales para el desarrollo moderno.

Imagínese intentar construir un teléfono móvil sin saber cómo medir, analizar y controlar la electricidad y el magnetismo. O imagínese intentar mantener un medio ambiente sin una forma de medir, analizar y detectar la propagación de toxinas a través de las regiones y en las vías fluviales.

Por supuesto, la tentadora intriga en torno a los problemas de reconocimiento y detección los hace apasionantes. Las grandes mentes se ven atraídas y producen grandes avances en un esfuerzo por entender qué hace que todo funcione.

Se podría afirmar, muy razonablemente, que cuanto más tiempo permanezca la conjetura de Hodge como un problema sin resolver, más bien hará por la humanidad, impulsando técnicas cada vez más refinadas para la medición y el análisis y estimulando el desarrollo de métodos cada vez mejores para el reconocimiento de objetos a partir de los datos.

El Instituto de Matemáticas Clay ha tenido el acierto de señalar la conjetura de Hodge como un problema que tiene la capacidad de estimular un amplio desarrollo de nuevos métodos y tecnologías y de incluirlo como uno de los problemas del Milenio.

Esta es la segunda parte de la serie de premios del Milenio. Para leer las otras entregas, siga los siguientes enlaces.

• Primera parte: Premio del Milenio: el problema de existencia y unicidad de Navier-Stokes
• Tercera parte: Premio del Milenio: P vs NP