MILLENNIUMPRISESERIE: Millennium Prize-problemerne er syv matematiske problemer, der blev opstillet af Clay Mathematics Institute i 2000. De er ikke nemme – en korrekt løsning på et af dem resulterer i en præmie på 1 000 000 USD, som uddeles af instituttet.

Den russiske matematiker Grigori Perelman fik prisen den 18. marts sidste år for at have løst et af problemerne, Poincarés formodning – det eneste problem, der endnu ikke er blevet løst. Som bekendt afslog han Millenniumprisen på 1 000 000 USD.

I løbet af de kommende uger vil hvert af disse problemer blive belyst af eksperter fra de institutioner, der er medlemmer af Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).

Her forklarer professor Arun Ram Hodge-konjekturen. God fornøjelse.

Hvis man groft sagt opdeler matematikken i to dele ville de være: værktøjer til måling og værktøjer til genkendelse.

For at bruge en analogi er værktøjer til måling de teknologier til indsamling af data om et objekt, processen med at “tage et uskarpt fotografi”. Værktøjer til genkendelse omhandler følgende: Hvis man får en bunke data eller et sløret fotografi, hvordan kan man så genkende det objekt, som det stammer fra, ud fra dataene?

Hodge-konjekturen – et stort uløst problem inden for algebraisk geometri – omhandler genkendelse.

William Vallance Douglas Hodge var en professor i Cambridge, som i 1940’erne arbejdede på at udvikle en forfinet version af kohomologi – værktøjer til at måle strømning og flow på tværs af overfladegrænser (f.eks. væskestrømning på tværs af membraner).

De klassiske versioner af kohomologi bruges til at forstå strømmen og spredningen af elektricitet og magnetisme (f.eks. Maxwells ligninger, som beskriver, hvordan elektriske ladninger og strømme fungerer som oprindelse for elektriske og magnetiske felter). Disse blev forfinet af Hodge i det, der nu kaldes “Hodge-dekompositionen af kohomologi”.

Hodge erkendte, at de faktiske målinger af strømning på tværs af regioner altid bidrager til en bestemt del af Hodge-dekompositionen, kendt som (p,p)-delen. Han formodede, at hver gang dataene viser et bidrag til (p,p)-delen af Hodge-dekompositionen, kunne målingerne stamme fra et realistisk scenarie med et system af flow og forandring på tværs af en region.

Og, for at sige det som en analogi, kunne man sige, at Hodge fandt et kriterium til at teste for svigagtige data.

Hvis Hodges test kommer positivt tilbage, kan man være sikker på, at dataene er svindel. Spørgsmålet i Hodges formodning er, om der er nogen svigagtige data, som Hodges test ikke vil opdage. Indtil videre ser det ud til, at Hodges test virker.

Men vi har ikke forstået godt nok, hvorfor den virker, og derfor er muligheden åben for, at der kan være en måde at omgå Hodges sikkerhedsordning på.

Hodge fremsatte sin formodning i 1950, og mange af de førende inden for udviklingen af geometri har arbejdet med dette grundlæggende genkendelsesproblem. Selve problemet har stimuleret mange andre raffinerede teknikker til måling af strømning, flux og spredning.

Tates formodning fra 1963 er et andet lignende genkendelsesspørgsmål, der udspringer af en anden måleteknik, den l-adiske kohomologi, der blev udviklet af Alexander Grothendieck.

Det stærkeste bevis til fordel for Hodges formodning er et resultat fra 1995 af Cattani, Deligne & Kaplan, som undersøger, hvordan Hodge-dekompositionen opfører sig, når et område muterer.

Klassiske kohomologimålinger påvirkes ikke af små mutationer, men Hodge-dekompositionen registrerer mutationer. Studiet af Hodge-dekompositionen på tværs af mutationer giver stor indsigt i de mønstre i data, der må forekomme i ægte målinger.

I 1960’erne indledte Grothendieck en kraftfuld teori, der generaliserede det sædvanlige begreb “region” til at omfatte “virtuelle regioner” (motivteorien, på hvilke man kunne måle “virtuelle temperaturer” og “virtuelle magnetfelter”.

I en vag forstand forsøger teorien om motiver at angribe problemet ved at forsøge at tænke som en hacker. Grothendiecks “standardforestillinger” er vidtrækkende generaliseringer af Hodge-forestillingen, som forsøger at forklare, hvilke virtuelle områder der ikke kan skelnes fra realistiske scenarier.

Spørgsmålet i Hodge-forestillingen har stimuleret udviklingen af revolutionerende værktøjer og teknikker til måling og analyse af data på tværs af regioner. Disse værktøjer har været og er fortsat grundlæggende for den moderne udvikling.

Forestil dig at forsøge at bygge en mobiltelefon uden at have en forståelse for, hvordan man måler, analyserer og kontrollerer elektricitet og magnetisme. Eller forestil dig at forsøge at opretholde et miljø uden en måde at måle, analysere og påvise spredningen af giftstoffer på tværs af regioner og i vandveje.

Naturligvis gør den pirrende intrige omkring genkendelses- og påvisningsproblemer dem spændende. Store hjerner bliver tiltrukket og skaber store fremskridt i et forsøg på at forstå, hvad der får det hele til at fungere.

Man kan med rimelighed hævde, at jo længere Hodge-konjekturen forbliver et uløst problem, jo mere gavnligt vil det være for menneskeheden, idet det vil være drivkraft for mere og mere raffinerede teknikker til måling og analyse og stimulere udviklingen af bedre og bedre metoder til genkendelse af objekter fra dataene.

Det var klogt af Clay Mathematics Institute at udpege Hodge-konjekturen som et problem, der har kapacitet til at stimulere en omfattende udvikling af nye metoder og teknologier, og at medtage det som et af millenniumproblemerne.

Dette er anden del af Millennium Prize Series. For at læse de andre dele, følg linkene nedenfor.

• Del et: Millennium Prize: Navier-Stokes eksistens- og entydighedsproblem
• Del tre: Millennium Prize: P vs NP