Lebesgueův integrál pracuje s výpočtem hodnoty integrálu na základě hodnot yyy místo hodnot xxx.

Nechť

f(x)={14 pokud 0≤x≤3412 pokud 34<x≤1.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{4} \text{ if } 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}\text{ if } \frac{3}{4}<x\leq 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

Jaká je hodnota ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Tento graf se skládá ze dvou úseček, takže plochu pod ním si lze představit jako dva obdélníky, takže integrál má hodnotu 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165. Když však použijeme Riemannův integrál, uvažujeme ve skutečnosti trochu jinak: kreslíme mnoho menších obdélníků a používáme je k „aproximaci“ velkých obdélníků, i když v tomto případě je aproximace přesná.

Lebesgueův integrál uvažuje o tomto problému jinak: funkce fff nabývá pouze hodnot 14\frac1441 a 12\frac1221, takže uvažujeme velikost množin, na kterých fff nabývá těchto hodnot. Ty jsou 34\frac3443 a 14\frac1441, takže celková plocha musí být 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

V tomto případě je rozdíl mezi oběma způsoby uvažování o ploše nesmyslný, ale jak ukazuje následující příklad, není tomu tak vždy.

Nechť

f(x)={1 pokud je x racionální0 pokud je x iracionální. f(x)=\begin{případ} 1\text{ pokud } x\text{ je racionální}\\\\ 0\text{ pokud }x\text{ je iracionální}. \konec{případů}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 pokud x je racionální0 pokud x je iracionální.

Jaká je hodnota ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Pokusíme-li se zde použít Riemannův integrál, protože každý interval obsahuje nekonečně mnoho racionálních a iracionálních čísel, nelze graf této funkce aproximovat obdélníky, takže plochu nelze vypočítat pomocí Riemannova integrálu. Ale použijeme-li hledisko Lebesgueova integrálu, protože fff nabývá pouze dvou hodnot, 0 a 1, stačí se zamyslet nad velikostí množin, na kterých nabývá těchto hodnot, a pak násobit příslušnými hodnotami.

Racionálních čísel je jen spočitatelně mnoho a iracionálních nepočitatelně mnoho, takže míra racionálních čísel v (0,1)(0,1)(0,1) je 0 a míra iracionálních čísel je 1. To znamená, že míra racionálních čísel v (0,1)(0,1)(0,1) je 1. Protože fff nabývá u racionálů hodnoty 1, přispívají k integrálu 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0; podobně iracionály přispívají 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0. Hodnota integrálu je tedy 0. □_\kvadrát□

Lebesgueův integrál v podstatě sleduje, jak často funkce dosahuje určité hodnoty, nikoliv hodnotu funkce v určitém bodě. Podle Reinharda Siegmunda-Schultzeho tuto myšlenku vysvětlil sám Lebesgue v dopise Paulu Montelovi, když napsal

„Musím zaplatit určitou částku, kterou jsem shromáždil v kapse. Vyndávám z kapsy bankovky a mince a dávám je věřiteli v pořadí, v jakém je najdu, dokud nedosáhnu celkové částky. To je Riemannův integrál. Mohu však postupovat i jinak. Poté, co vyndám z kapsy všechny peníze, seřadím bankovky a mince podle stejných hodnot a pak několik hromádek jednu po druhé vyplatím věřiteli. To je můj integrál.“