La integral de Lebesgue funciona calculando el valor de una integral a partir de los valores yyy en lugar de los valores xxx.

Dejemos

f(x)={14 si 0≤x≤3412 si 34<x≤1.f(x)=\begin{casos} \frac{1}{4} \texto{si} 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}{texto}{si} \1. \f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 si 0≤x≤4321 si 43<x≤1.

¿Cuál es el valor de ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\N, dx∫01f(x)dx?

Esta gráfica está formada por dos segmentos de recta, por lo que el área bajo ella puede pensarse como dos rectángulos, por lo que la integral tiene valor 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}{4}+\frac{1}{4}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165.Cuando utilizamos la integral de Riemann, sin embargo, en realidad estamos pensando en esto de forma ligeramente diferente: estamos dibujando muchos rectángulos más pequeños, y utilizándolos para «aproximar» los rectángulos grandes, aunque en este caso la aproximación es exacta.

La integral de Lebesgue piensa en este problema de una manera diferente: la función fff toma sólo los valores 14\frac1441 y 12\frac1221, así que consideramos el tamaño de los conjuntos en los que fff toma esos valores. Son 34\frac3443 y 14\frac1441 respectivamente, por lo que el área total debe ser 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

En este caso, la distinción entre las dos formas de pensar en el área no tiene sentido, pero como muestra el siguiente ejemplo, no siempre es así.

Dejemos que

f(x)={1 si x es racional0 si x es irracional. f(x)={empezamos} 1{text} si } x es racional}\\\\ 0\texto{si}x es irracional}. \fin{cas}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 si x es racional0 si x es irracional.

¿Cuál es el valor de ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\N, dx∫01f(x)dx?

Si intentamos utilizar aquí la integral de Riemann, debido a que cada intervalo contiene infinitos números racionales e irracionales, la gráfica de esta función no se puede aproximar mediante rectángulos, por lo que el área no se puede calcular utilizando la integral de Riemann. Pero usando la perspectiva de la integral de Lebesgue, como fff toma sólo dos valores, 0 y 1, todo lo que tenemos que hacer es pensar en el tamaño de los conjuntos en los que está tomando esos valores y luego multiplicar por los valores apropiados.

Sólo hay contablemente muchos racionales e incontablemente muchos irracionales, así que la medida de los racionales en (0,1)(0,1)(0,1) es 0, y la medida de los irracionales es 1. Como fff toma un valor de 1 en los racionales, éstos contribuyen con 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0 a la integral; análogamente, los irracionales contribuyen con 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0. Por tanto, el valor de la integral es 0. □_\square□

En esencia, la integral de Lebesgue se fija en la frecuencia con la que una función alcanza un determinado valor, más que en el valor de una función en un punto concreto. Según Reinhard Siegmund-Schultze, el propio Lebesgue explicó esta idea en una carta a Paul Montel, escribiendo

«Tengo que pagar una determinada suma, que he recogido en mi bolsillo. Saco los billetes y las monedas de mi bolsillo y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta llegar a la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y las monedas según valores idénticos y luego pago los distintos montones uno tras otro al acreedor. Esta es mi integral.»