SERIILE PREMIILOR MILENIULUI: Problemele Premiului Mileniului sunt șapte probleme de matematică stabilite de Clay Mathematics Institute în anul 2000. Ele nu sunt ușoare – o soluție corectă la oricare dintre ele duce la acordarea unui premiu de 1.000.000 USD de către institut.

Matematicianul rus Grigori Perelman a primit premiul pe 18 martie anul trecut pentru rezolvarea uneia dintre probleme, conjectura lui Poincaré – deocamdată singura problemă care a fost rezolvată. Celebru, el a refuzat Premiul Mileniului, în valoare de 1.000.000 de dolari.

În săptămânile următoare, fiecare dintre aceste probleme va fi luminată de experți din instituțiile membre ale Institutului Australian de Științe Matematice (AMSI).

Aici, profesorul Arun Ram explică Conjectura Hodge. Distracție plăcută.

Dacă se împarte grosolan matematica în două părți, acestea ar fi: instrumente de măsurare și instrumente de recunoaștere.

Pentru a folosi o analogie, instrumentele de măsurare sunt tehnologiile de colectare a datelor despre un obiect, procesul de „a face o fotografie neclară”. Instrumentele pentru recunoaștere se ocupă de următoarele: dacă vi se dă o grămadă de date sau o fotografie neclară, cum poate fi recunoscut obiectul de la care provine din datele respective?

Conjectura Hodge – o problemă majoră nerezolvată în geometria algebrică – se ocupă de recunoaștere.

William Vallance Douglas Hodge a fost un profesor la Cambridge care, în anii 1940, a lucrat la dezvoltarea unei versiuni rafinate a cohomologiei – instrumente pentru măsurarea fluxului și a curgerii peste limitele suprafețelor (de exemplu, curgerea fluidelor peste membrane).

Versiunile clasice ale cohomologiei sunt utilizate pentru înțelegerea fluxului și dispersiei electricității și magnetismului (de exemplu, ecuațiile lui Maxwell, care descriu modul în care sarcinile și curenții electrici acționează ca origini pentru câmpurile electrice și magnetice). Acestea au fost rafinate de Hodge în ceea ce se numește acum „descompunerea Hodge a cohomologiei”.

Hodge a recunoscut că măsurătorile reale ale fluxului prin regiuni contribuie întotdeauna la o anumită parte a descompunerii Hodge, cunoscută sub numele de partea (p,p). El a conchis că, de fiecare dată când datele prezintă o contribuție la partea (p,p) a descompunerii Hodge, măsurătorile ar fi putut proveni dintr-un scenariu realist al unui sistem de flux și schimbare de-a lungul unei regiuni.

Sau, pentru a face o analogie, am putea spune că Hodge a găsit un criteriu pentru a testa dacă există date frauduloase.

Dacă testul lui Hodge iese pozitiv, puteți fi siguri că datele sunt frauduloase. Întrebarea în conjectura lui Hodge este dacă există date frauduloase pe care testul lui Hodge nu le va detecta. Până acum, testul lui Hodge pare să funcționeze.

Dar nu am înțeles suficient de bine de ce funcționează și, astfel, este deschisă posibilitatea că ar putea exista o modalitate de a ocoli schema de securitate a lui Hodge.

Hodge și-a făcut conjectura în 1950 și mulți dintre liderii în dezvoltarea geometriei au lucrat la această problemă de bază a recunoașterii. Problema în sine a stimulat multe alte tehnici rafinate de măsurare a fluxului, fluxului și dispersiei.

Conjectura lui Tate din 1963 este o altă problemă de recunoaștere similară care provine dintr-o altă tehnică de măsurare, cohomologia l-adică dezvoltată de Alexander Grothendieck.

Cele mai puternice dovezi în favoarea conjecturei lui Hodge sunt un rezultat din 1995 al lui Cattani, Deligne & Kaplan care studiază modul în care se comportă descompunerea Hodge pe măsură ce o regiune suferă mutații.

Măsurătorile clasice de cohomologie nu sunt afectate de mici mutații, dar descompunerea Hodge înregistrează mutații. Studiul descompunerii Hodge de-a lungul mutațiilor oferă o mare perspectivă asupra modelelor de date care trebuie să apară în măsurătorile adevărate.

În anii 1960, Grothendieck a inițiat o teorie puternică care generalizează conceptul obișnuit de „regiune” pentru a include „regiuni virtuale” (teoria motivelor pe care se pot măsura „temperaturi virtuale” și „câmpuri magnetice virtuale”.

Într-un sens vag, teoria motivelor încearcă să atace problema încercând să gândească precum un hacker. „Conjecturile standard” ale lui Grothendieck sunt generalizări de mare anvergură ale conjecturii lui Hodge, care încearcă să explice ce regiuni virtuale nu se disting de scenariile realiste.

Întrebarea din conjectura lui Hodge a stimulat dezvoltarea unor instrumente și tehnici revoluționare pentru măsurarea și analiza datelor între regiuni. Aceste instrumente au fost și continuă să fie fundamentale pentru dezvoltarea modernă.

Imaginați-vă că încercați să construiți un telefon mobil fără a înțelege cum să măsurați, să analizați și să controlați electricitatea și magnetismul. Alternativ, imaginați-vă că încercați să susțineți un mediu înconjurător fără o modalitate de măsurare, analiză și detectare a răspândirii toxinelor în regiuni și în căile navigabile.

Desigur, intriga ispititoare din jurul problemelor de recunoaștere și detectare le face palpitante. Marile minți sunt atrase și produc mari progrese în efortul de a înțelege ce le face să funcționeze.

Se poate afirma, în mod foarte rezonabil, că, cu cât mai mult timp conjectura lui Hodge rămâne o problemă nerezolvată, cu atât mai mult bine va face omenirii, determinând tehnici din ce în ce mai rafinate de măsurare și analiză și stimulând dezvoltarea unor metode din ce în ce mai bune de recunoaștere a obiectelor din date.

Institutul de Matematică Clay a fost înțelept când a identificat conjectura Hodge ca fiind o problemă care are capacitatea de a stimula dezvoltarea extensivă a unor noi metode și tehnologii și când a inclus-o ca una dintre problemele Mileniului.

Aceasta este a doua parte a seriei Premiilor Mileniului. Pentru a citi celelalte părți, urmați linkurile de mai jos.

• Partea întâi: Premiul Mileniului: problema existenței și unicității lui Navier-Stokes
• Partea a treia: Problema existenței și unicității lui Navier-Stokes
• : Premiul Mileniului: P vs NP

.