MILLLENNIUM PRIZE SERIES: Os Problemas do Prémio Millennium são sete problemas matemáticos apresentados pelo Instituto de Matemática do Barro, em 2000. Eles não são fáceis – uma solução correta para qualquer um resulta na atribuição de um prêmio de US$1.000.000 por parte do instituto.
O matemático russo Grigori Perelman foi premiado em 18 de março do ano passado por resolver um dos problemas, a conjectura de Poincaré – até agora o único problema que foi resolvido. Famosamente, ele recusou o Prémio Milénio de $1.000.000.000.
Nas próximas semanas, cada um destes problemas será iluminado por especialistas das instituições membros do Instituto Australiano de Ciências Matemáticas (AMSI).
Aqui, o Professor Arun Ram explica a Conjectura Hodge. Enjoy.
Se a matemática fosse grosseiramente dividida em duas partes, elas seriam: ferramentas de medição e ferramentas de reconhecimento.
Para usar uma analogia, as ferramentas de medição são as tecnologias de coleta de dados sobre um objeto, o processo de “tirar uma fotografia desfocada”. Ferramentas para reconhecimento lidam com o seguinte: se lhe for dada uma pilha de dados ou uma fotografia desfocada, como pode o objecto de onde veio ser reconhecido a partir dos dados?
A Conjectura Hodge – um grande problema por resolver em geometria algébrica – lida com o reconhecimento.
William Vallance Douglas Hodge foi professor em Cambridge que, nos anos 40, trabalhou no desenvolvimento de uma versão refinada da coomologia – ferramentas para medir fluxo e fluxo através de fronteiras de superfícies (por exemplo, fluxo de fluido através de membranas).
As versões clássicas da cohomologia são utilizadas para a compreensão do fluxo e dispersão da electricidade e do magnetismo (por exemplo, as equações de Maxwell, que descrevem como as cargas e correntes eléctricas actuam como origens dos campos eléctricos e magnéticos). Estas foram refinadas por Hodge no que agora é chamado de “Hodge decomposition of cohomology”.
Hodge reconheceu que as medidas reais de fluxo através de regiões sempre contribuem para uma parte particular da decomposição de Hodge, conhecida como a parte (p,p). Ele conjeturou que sempre que os dados mostrassem uma contribuição para a parte (p,p) da decomposição de Hodge, as medições poderiam ter vindo de um cenário realista de um sistema de fluxo e mudança através de uma região.
Or, para colocar isto como uma analogia, pode-se dizer que Hodge encontrou um critério para testar dados fraudulentos.
Se o teste de Hodge voltar positivo, você pode ter certeza de que os dados são fraudulentos. A questão na conjectura de Hodge é se existe algum dado fraudulento que o teste de Hodge não irá detectar. Até agora, o teste do Hodge parece funcionar.
Mas ainda não entendemos bem o porquê de funcionar, e assim a possibilidade é aberta de que possa haver uma forma de contornar o esquema de segurança de Hodge.
Hodge fez sua conjectura em 1950, e muitos dos líderes no desenvolvimento da geometria têm trabalhado neste problema básico de reconhecimento. O próprio problema tem estimulado muitas outras técnicas refinadas para medir fluxo, fluxo e dispersão.
A conjectura de Hodge de 1963 é outra questão de reconhecimento semelhante que surge de outra técnica de medição, a coomologia l-ádica desenvolvida por Alexander Grothendieck.
A mais forte evidência a favor da conjectura de Hodge é um resultado de Cattani, Deligne & Kaplan que estuda como a decomposição de Hodge se comporta como uma região mutante.
Medidas clássicas de coomologia não são afetadas por pequenas mutações, mas a decomposição de Hodge registra mutações. O estudo da decomposição de Hodge através de mutações fornece uma grande visão dos padrões em dados que devem ocorrer em medições verdadeiras.
Nos anos 60, Grothendieck iniciou uma poderosa teoria generalizando o conceito usual de “região” para incluir “regiões virtuais” (a teoria dos motivos sobre os quais se poderia medir “temperaturas virtuais” e “campos magnéticos virtuais”.
Num sentido vago, a teoria dos motivos está tentando atacar o problema tentando pensar como um hacker. As “Conjecturas Padrão” de Grothendieck são generalizações de longo alcance da conjectura Hodge, que tentam explicar quais regiões virtuais são indistinguíveis de cenários realistas.
A questão da conjectura de Hodge estimulou o desenvolvimento de ferramentas e técnicas revolucionárias para a medição e análise de dados entre regiões. Estas ferramentas têm sido, e continuam a ser, fundamentais para o desenvolvimento moderno.
Imagine tentar construir um telemóvel sem um entendimento de como medir, analisar e controlar a electricidade e o magnetismo. Alternativamente, imagine tentar manter um ambiente sem uma forma de medir, analisar e detectar a propagação de toxinas entre regiões e nos cursos de água.
De facto, a intriga tentadora em torno de problemas de reconhecimento e detecção torna-os excitantes. Grandes mentes são atraídas e produzem grandes avanços num esforço para compreender o que faz tudo isto funcionar.
Uma pessoa pode, muito razoavelmente, afirmar que quanto mais tempo a conjectura de Hodge permanecer um problema não resolvido, mais bem ela fará pela humanidade, conduzindo mais e mais refinadas técnicas de medição e análise e estimulando o desenvolvimento de melhores e melhores métodos de reconhecimento de objetos a partir dos dados.
O Instituto de Matemática do Barro foi sábio em apontar a conjectura de Hodge como um problema que tem a capacidade de estimular o desenvolvimento extensivo de novos métodos e tecnologias e incluí-lo como um dos problemas do Milênio.
Esta é a segunda parte da série de prêmios do Milênio. Para ler as outras prestações, siga os links abaixo.
- Parte Um: Prémio Millennium: a existência do Navier-Stokes e o problema da singularidade
- Parte Três: Prémio Milénio: P vs NP