MILLENNIUM PRIZE SERIES: The Millennium Prize Problems to siedem problemów matematycznych ułożonych przez Clay Mathematics Institute w 2000 roku. Nie są one łatwe – poprawne rozwiązanie któregokolwiek z nich skutkuje przyznaniem przez instytut nagrody w wysokości 1 000 000 USD.
Rosyjski matematyk Grigorij Perelman otrzymał nagrodę 18 marca ubiegłego roku za rozwiązanie jednego z problemów, domysłu Poincarégo – jak dotąd jedynego problemu, który został rozwiązany. Jak wiadomo, odrzucił on nagrodę milenijną w wysokości 1 000 000 dolarów.
W ciągu najbliższych tygodni każdy z tych problemów zostanie naświetlony przez ekspertów z instytucji członkowskich Australijskiego Instytutu Nauk Matematycznych (AMSI).
Tutaj profesor Arun Ram wyjaśnia zagadnienie Hodge’a. Enjoy.
Jeśli podzielić matematykę na dwie części, byłyby to: narzędzia do mierzenia i narzędzia do rozpoznawania.
Aby użyć analogii, narzędzia do mierzenia to technologie zbierania danych o obiekcie, proces „robienia nieostrego zdjęcia”. Narzędzia do rozpoznawania zajmują się następującą kwestią: jeśli dostajemy stertę danych lub rozmazane zdjęcie, jak na podstawie danych można rozpoznać obiekt, z którego ono pochodzi?
Przeciwdziałanie Hodge’a – główny nierozwiązany problem w geometrii algebraicznej – dotyczy rozpoznawania.
William Vallance Douglas Hodge był profesorem w Cambridge, który w latach 40. pracował nad rozwojem udoskonalonej wersji kohomologii – narzędzi do pomiaru przepływu i strumienia przez granice powierzchni (na przykład przepływu płynów przez membrany).
Klasyczne wersje kohomologii są używane do zrozumienia przepływu i rozproszenia elektryczności i magnetyzmu (na przykład równania Maxwella, które opisują, jak ładunki i prądy elektryczne działają jako źródła pól elektrycznych i magnetycznych). Zostały one udoskonalone przez Hodge’a w tym, co jest obecnie nazywane „rozkładem Hodge’a kohomologii”.
Hodge uznał, że rzeczywiste pomiary przepływu przez regiony zawsze przyczyniają się do szczególnej części rozkładu Hodge’a, znanej jako część (p,p). Domyślił się, że za każdym razem, gdy dane wykazują wkład do (p,p) części rozkładu Hodge’a, pomiary mogły pochodzić z realistycznego scenariusza systemu strumienia i zmian w całym regionie.
Lub, stawiać to jako analogia, jeden móc Hodge znajdować kryterium dla fałszywy dane.
Jeśli test Hodge’a wraca pozytywny, możesz być pewien, że dane są fałszywe. Pytanie w przypuszczeniach Hodge’a brzmi, czy istnieją jakiekolwiek fałszywe dane, których test Hodge’a nie wykryje. Jak dotąd, test Hodge’a wydaje się działać.
Ale nie rozumiemy wystarczająco dobrze, dlaczego działa, a więc istnieje możliwość, że istnieje sposób na obejście schematu bezpieczeństwa Hodge’a.
Hodge przedstawił swoje przypuszczenie w 1950 roku, a wielu liderów w rozwoju geometrii pracowało nad tym podstawowym problemem rozpoznawania. Sam problem pobudził wiele innych wyrafinowanych technik pomiaru przepływu, strumienia i rozproszenia.
Przemyślenie Tate’a z 1963 roku jest kolejnym podobnym problemem rozpoznawczym wychodzącym z innej techniki pomiarowej, kohomologii l-adycznej opracowanej przez Alexandra Grothendiecka.
Najsilniejszym dowodem na korzyść przypuszczenia Hodge’a jest wynik Cattaniego, Deligne’a & Kaplana z 1995 roku, który bada jak rozkład Hodge’a zachowuje się w miarę mutacji regionu.
Klasyczne miary kohomologii nie są naruszane przez małe mutacje, ale rozkład Hodge’a rejestruje mutacje. Badanie rozkładu Hodge’a przez mutacje zapewnia świetny wgląd we wzorce w danych, które muszą wystąpić w prawdziwych pomiarach.
W latach sześćdziesiątych Grothendieck zapoczątkował potężną teorię uogólniającą zwykłe pojęcie „regionu”, aby włączyć „wirtualne regiony” (teoria motywów, na których można zmierzyć „wirtualne temperatury” i „wirtualne pola magnetyczne”.
W niejasnym sensie teoria motywów próbuje zaatakować problem, starając się myśleć jak haker. „Standardowe domysły” Grothendiecka są daleko idącymi uogólnieniami domysłu Hodge’a, które próbują wyjaśnić, które wirtualne regiony są nieodróżnialne od realistycznych scenariuszy.
Pytanie zawarte w przypuszczeniu Hodge’a pobudziło rozwój rewolucyjnych narzędzi i technik pomiaru i analizy danych w różnych regionach. Narzędzia te były i nadal są fundamentalne dla współczesnego rozwoju.
Wyobraźmy sobie próbę zbudowania telefonu komórkowego bez zrozumienia, jak mierzyć, analizować i kontrolować elektryczność i magnetyzm. Alternatywnie, wyobraźmy sobie próbę utrzymania środowiska bez sposobu mierzenia, analizowania i wykrywania rozprzestrzeniania się toksyn w regionach i drogach wodnych.
Oczywiście, intrygująca intryga wokół problemów rozpoznawania i wykrywania sprawia, że są one ekscytujące. Wielkie umysły są wciągane i dokonują wielkich postępów, starając się zrozumieć, co sprawia, że to wszystko działa.
Jeden może, bardzo rozsądnie, twierdzić, że im dłużej domysł Hodge’a pozostaje nierozwiązanym problemem, tym więcej dobrego zrobi dla ludzkości, napędzając coraz bardziej wyrafinowane techniki pomiaru i analizy oraz stymulując rozwój coraz lepszych metod rozpoznawania obiektów z danych.
Jest to druga część serii nagród milenijnych. Aby przeczytać pozostałe części, kliknij poniższe linki.
- Część pierwsza: Nagroda Milenijna: problem istnienia i niepowtarzalności Naviera-Stokesa
- Część trzecia: Nagroda Millenium: P vs NP
.