De ideale vorm van Helmholtz-resonator is een spelonkachtige ruimte, bijna omsloten door een dunne, onbeweeglijke wand, waarin zich een kleine perforatie bevindt die een verbinding tot stand brengt tussen het inwendige en het uitwendige gas. Een benaderende theorie, gebaseerd op de veronderstelling dat de perforaties klein zijn, en bijgevolg dat de golflengte van de aëriale trilling groot is, is te danken aan Helmholtz die tot definitieve resultaten kwam voor perforaties met een cirkelvormige of elliptische omtrek. Een vereenvoudigde, en in sommige opzichten veralgemeende, behandeling werd gegeven in mijn verhandeling over “Resonantie”. In het extreme geval van een golflengte die groot genoeg is, is de kinetische energie van de trilling die van het gas dichtbij de mond terwijl het zich in en uit beweegt, zoals een onsamendrukbare vloeistof zou kunnen doen, en de potentiële energie is die van de bijna eenvormige samendrukkingen en rarefacties van het gas in het binnenste. Deze laatste is een kwestie van het volume S van de holte en van de hoeveelheid gas die is gepasseerd, maar de berekening van de kinetische energie levert moeilijkheden op die slechts gedeeltelijk zijn overwonnen. In het geval van eenvoudige openingen in de dunne wand (die als vlak worden beschouwd), laten alleen cirkelvormige en elliptische vormen een volledige behandeling toe. Het wiskundig probleem is hetzelfde als dat van het vinden van het elektrostatisch vermogen van een dunne geleidende plaat met de vorm van de opening, die verondersteld wordt zich in de open lucht te bevinden. Het project van een striktere behandeling van het probleem, in het geval van een bolvormige wand en een opening met cirkelvormige omtrek, houdt mij al meer dan 40 jaar bezig, deels met de hoop een betere benadering te bereiken, deels omdat sommige wiskundigen de vroegere methode onbevredigend of, in ieder geval, moeilijk te volgen hebben gevonden. De huidige verhandeling gaat over gewone lijnen, met gebruikmaking van sferische functies (Legendre’s), zoals in een eerdere verhandeling, “Over de akoestische schaduw van een bol.