Er bestaat geen enkele mel-schaal formule. De populaire formule uit O’Shaughnessy’s boek kan worden uitgedrukt met verschillende logaritmische grondslagen:
m = 2595 log 10 ( 1 + f 700 ) = 1127 ln ( 1 + f 700 ) {\displaystyle m=2595\log _{10}left(1+{\frac {f}{700}}right)=1127\ln \left(1+{\frac {f}{700}}right)}
De overeenkomstige inverse uitdrukkingen zijn:
f = 700 ( 10 m 2595 – 1 ) = 700 ( e m 1127 – 1 ) {Displaystyle f=700left(10^{\frac {m}{2595}}-1\right)=700left(e^{\frac {m}{1127}}-1\right)}
Er zijn sinds Steinberg’s 1937 krommen en tabellen gepubliceerd over psychofysische toonhoogteschalen gebaseerd op net waarneembare verschillen in toonhoogte. Meer krommen volgden spoedig in Fletcher en Munson’s 1937 en Fletcher’s 1938 en Stevens’ 1937 en Stevens en Volkmann’s 1940 papers met gebruikmaking van een verscheidenheid van experimentele methoden en analyse benaderingen.
In 1949 publiceerde Koenig een benadering op basis van afzonderlijke lineaire en logaritmische segmenten, met een pauze bij 1000 Hz.
Gunnar Fant stelde in 1949 de huidige populaire lineaire/logaritmische formule voor, maar met de hoekfrequentie van 1000 Hz.
Een alternatieve uitdrukking van de formule, die niet afhankelijk is van de keuze van de logaritmebasis, wordt gegeven in Fant (1968):
m = 1000 log 2 log ( 1 + f 1000 ) {\displaystyle m={\frac {1000}{\log 2}}log \left(1+{\frac {f}{1000}}\right)}
In 1976 publiceerden Makhoul en Cosell de nu zo populaire versie met de 700 Hz hoekfrequentie.Zoals Ganchev et al. hebben opgemerkt: “De formules, vergeleken met , geven een betere benadering van de Mel schaal voor frequenties onder 1000 Hz, ten koste van een grotere onnauwkeurigheid voor frequenties hoger dan 1000 Hz.” Boven 7 kHz is de situatie echter omgekeerd, en past de 700 Hz versie weer beter.
Gegevens aan de hand waarvan sommige van deze formules zijn gemotiveerd staan in Beranek (1949), zoals gemeten uit de curven van Stevens en Volkmann:
| Hz | 20 | 160 | 394 | 670 | 1000 | 1420 | 1900 | 2450 | 3120 | 4000 | 5100 | 6600 | 9000 | 14000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mel | 0 | 250 | 500 | 750 | 1000 | 1250 | 1500 | 1750 | 2000 | 2250 | 2500 | 2750 | 3000 | 3250 |
Een formule met een breekfrequentie van 625 Hz wordt gegeven door Lindsay & Norman (1977); de formule komt niet voor in hun eerste editie van 1972:
m = 2410 log 10 ( 0.0016 f + 1 ) {Displaystyle m=2410 log _{10}(0,0016f+1)}
Voor een directe vergelijking met andere formules is dit gelijk aan:
m = 2410 log 10 ( 1 + f 625 ) {{0.10.log _{10}-links(1+{frac {f}{625}}-rechts)}
De meeste melschaalformules geven precies 1000 mels bij 1000 Hz. De breukfrequentie (b.v. 700 Hz, 1000 Hz, of 625 Hz) is de enige vrije parameter in de gebruikelijke vorm van de formule. Sommige niet-mel auditieve-frequentieschaal formules gebruiken dezelfde vorm maar met veel lagere breekfrequentie, niet noodzakelijkerwijs mappend naar 1000 bij 1000 Hz; bijvoorbeeld de ERB-schaal van Glasberg & Moore (1990) gebruikt een breekpunt van 228,8 Hz, en de cochleaire frequentie-plaats kaart van Greenwood (1990) gebruikt 165,3 Hz.
Andere functionele vormen voor de mel-schaal zijn onderzocht door Umesh e.a.; zij wijzen erop dat de traditionele formules met een logaritmisch gebied en een lineair gebied niet zo goed passen bij de gegevens van de krommen van Stevens en Volkmann als sommige andere vormen, op basis van de volgende gegevenstabel van metingen die zij hebben verricht aan de hand van die krommen: