Nu există o singură formulă pentru scala mel. Formula populară din cartea lui O’Shaughnessy poate fi exprimată cu diferite baze logaritmice:
m = 2595 log 10 ( 1 + f 700 ) = 1127 ln ( 1 + f 700 ) {\displaystyle m=2595\log _{10}\left(1+{\frac {f}{700}}\right)=1127\ln \left(1+{\frac {f}{700}}\right)}
Expresiile inverse corespunzătoare sunt:
f = 700 ( 10 m 2595 – 1 ) = 700 ( e m 1127 – 1 ) {\displaystyle f=700\left(10^{\frac {m}{2595}}-1\right)=700\left(e^{\frac {m}{1127}}-1\right)}
De la curbele lui Steinberg din 1937, bazate pe diferențe de înălțime abia sesizabile, au fost publicate curbe și tabele privind scările psihofizice de înălțime. Mai multe curbe au urmat în curând în lucrările lui Fletcher și Munson din 1937 și Fletcher din 1938 și Stevens din 1937 și Stevens și Volkmann din 1940, folosind o varietate de metode experimentale și abordări de analiză.
În 1949 Koenig a publicat o aproximare bazată pe segmente liniare și logaritmice separate, cu o pauză la 1000 Hz.
Gunnar Fant a propus formula liniară/logaritmică populară actuală în 1949, dar cu frecvența de colț de 1000 Hz.
O expresie alternativă a formulei, care nu depinde de alegerea bazei logaritmice, este notată în Fant (1968):
m = 1000 log 2 log ( 1 + f 1000 ) {\displaystyle m={\frac {1000}{\log 2}}\log \stânga(1+{\frac {f}{1000}}\dreapta)\ }
În 1976, Makhoul și Cosell au publicat versiunea acum populară cu frecvența de colț de 700 Hz.După cum au observat Ganchev et al., „Formulele , în comparație cu , oferă o aproximare mai apropiată a scalei Mel pentru frecvențe sub 1000 Hz, cu prețul unei inexactități mai mari pentru frecvențe mai mari de 1000 Hz”. Cu toate acestea, peste 7 kHz, situația se inversează, iar versiunea de 700 Hz se potrivește din nou mai bine.
Datele prin care sunt motivate unele dintre aceste formule sunt tabelate în Beranek (1949), așa cum sunt măsurate din curbele lui Stevens și Volkmann:
| Hz | 20 | 160 | 394 | 670 | 1000 | 1420 | 1900 | 2450 | 3120 | 4000 | 5100 | 6600 | 9000 | 14000 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mel | 0 | 250 | 500 | 750 | 1000 | 1250 | 1500 | 1750 | 2000 | 2250 | 2500 | 2500 | 2750 | 3000 | 3250 |
O formulă cu o frecvență de rupere de 625 Hz este dată de Lindsay & Norman (1977); formula nu apare în prima lor ediție din 1972:
m = 2410 log 10 ( 0.0016 f + 1 ) {\displaystyle m=2410\log _{10}(0.0016f+1)}
Pentru o comparație directă cu alte formule, aceasta este echivalentă cu:
m = 2410 log 10 ( 1 + f 625 ) {\displaystyle m=2410\log _{10}\left(1+{\frac {f}{625}}\right)}
Majoritatea formulelor de melc oferă exact 1000 mels la 1000 Hz. Frecvența de rupere (de exemplu, 700 Hz, 1000 Hz sau 625 Hz) este singurul parametru liber în forma obișnuită a formulei. Unele formule de scală a frecvențelor auditive non-mel folosesc aceeași formă, dar cu o frecvență de pauză mult mai mică, nu neapărat cartografiind 1000 la 1000 Hz; de exemplu, scara ERB-rate de Glasberg & Moore (1990) folosește un punct de pauză de 228,8 Hz, iar harta frecvenței locului cohlear de Greenwood (1990) folosește 165,3 Hz.
Alte forme funcționale pentru scara mel au fost explorate de Umesh et al.; ei subliniază că formulele tradiționale cu o regiune logaritmică și o regiune liniară nu se potrivesc cu datele din curbele lui Stevens și Volkmann la fel de bine ca și unele alte forme, pe baza următorului tabel de date al măsurătorilor pe care le-au făcut din aceste curbe: