De Lebesgue integraal werkt door de waarde van een integraal te berekenen op basis van yy-waarden in plaats van xxx-waarden.

Let

f(x)={14 als 0≤x≤3412 als 34<x≤1.f(x)={begin{cases} \frac{1}{4} \tekst{ indien} 0{3}{4}\\\\ {frac{1}{2}{text}{ if} \frac{3}{4}<x\leq 1. \eind{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

Wat is de waarde van ∫01f(x) dx_0^1 f(x)x, dx∫01f(x)dx?

Deze grafiek bestaat uit twee lijnstukken, dus de oppervlakte eronder kan beschouwd worden als twee rechthoeken, dus de integraal heeft waarde 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}}+\frac{1}{4}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165.Wanneer we echter de Riemann-integraal gebruiken, denken we hier eigenlijk een beetje anders over: we tekenen veel kleinere rechthoeken, en gebruiken die om de grote rechthoeken te “benaderen”, hoewel in dit geval de benadering exact is.

De Lebesgue-integraal denkt op een andere manier over dit probleem: de functie fff neemt alleen de waarden 14\frac1441 en 12\frac1221 aan, dus beschouwen we de grootte van de verzamelingen waarop fff die waarden aanneemt. Die zijn respectievelijk 34↪Sm_22C3443 en 14↪Sm_22C1441, dus de totale oppervlakte moet 14⋅34+12⋅14=516 zijn. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

In dit geval is het onderscheid tussen de twee manieren om over de oppervlakte te denken zinloos, maar zoals uit het volgende voorbeeld blijkt, is dat niet altijd het geval.

Laat

f(x)={1 als x rationaal is0 als x irrationeel is. f(x)=begin{gevallen} 1text{ als } x rationaal is\\\\ 0 als x irrationeel is. \f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 als x rationaal is0 als x irrationeel is.

Wat is de waarde van ∫01f(x) dx, dx∫01f(x)dx?

Als we hier de Riemann-integraal proberen te gebruiken, omdat elk interval oneindig veel rationale en irrationele getallen bevat, kan de grafiek van deze functie niet benaderd worden door rechthoeken, dus de oppervlakte kan niet berekend worden met de Riemann-integraal. Maar vanuit het perspectief van de Lebesgue integraal, omdat fff slechts twee waarden aanneemt, 0 en 1, hoeven we alleen maar na te denken over de grootte van de verzamelingen waarop hij die waarden aanneemt en dan te vermenigvuldigen met de juiste waarden.

Er zijn slechts ontelbaar veel rationale getallen en ontelbaar veel irrationale getallen, dus de maat van de rationale getallen in (0,1)(0,1)(0,1) is 0, en de maat van de irrationalen is 1. Aangezien fff een waarde 1 heeft op de rationale getallen, dragen zij 0⋅1=00⋅1=00⋅1=0 bij tot de integraal; evenzo dragen de irrationalen 1⋅0=01⋅0=01. De waarde van de integraal is dus 0. □_kwadraat□

In essentie kijkt men met de Lebesgue-integraal naar hoe vaak een functie een bepaalde waarde bereikt in plaats van naar de waarde van een functie in een bepaald punt. Volgens Reinhard Siegmund-Schultze heeft Lebesgue zelf dit idee uitgelegd in een brief aan Paul Montel, waarin hij schreef

“Ik moet een bepaalde som betalen, die ik in mijn zak heb verzameld. Ik neem de biljetten en munten uit mijn zak en geef ze aan de schuldeiser in de volgorde waarin ik ze vind, tot ik de totale som heb bereikt. Dit is de Riemann-integraal. Maar ik kan ook anders te werk gaan. Nadat ik al het geld uit mijn zak heb gehaald, orden ik de biljetten en munten volgens identieke waarden en dan betaal ik de verschillende stapels de een na de ander aan de schuldeiser. Dit is mijn integraal.”