ルベーグ積分は、積分の値をxxx値ではなくyyy値に基づいて計算することで機能します。

ここで

f(x)={14 if 0≤x≤3412 if 34<x≤1.f(x)=intbegin{cases} としてみましょう。 \Ίταμμα για για για για για \ʕ-̫͡-ʔ 0leq xleq \frac{3}{4} text{if }. \frac{3}{4}<xleq 1. \f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

∫01f(x) dxint_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx の値は何ですか？

このグラフは2本の線分からなるので、その下の面積は2つの長方形と考えることができるので、積分は値34・14+14・12=516.㊦frac{3}{4}+㊦frac{1}{2}=㊦frac{5}{16}…となる。43・41+41・21=165。しかし、リーマン積分を使うときは、実際には少し違った考え方をしている。小さな長方形をたくさん描いて、それらを使って大きな長方形を「近似」しているのだが、この場合、近似は正確である。

ルベーグ積分はこの問題を別の方法で考えます：関数ffは値14frac1441と12apprac1221だけを取るので、ffがこれらの値を取る集合の大きさを考えます。 それぞれ34Θfrac3443と14Θfrac1441だから、総面積は14Θ34+12Θ14=516でなければならない。 □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

この場合、面積に関する2つの考え方の区別は意味がありませんが、次の例からわかるように、必ずしもそうとは限りません。

f(x)={1 if x is rational0 if x is irrational.f(x)=begin{cases} 1text{ if } とする。 xtext{ is rational} 0text{ if }xtext{ is irrational}. \f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 if x is rational0 if x is irrational.

∫01f(x) dxint_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx の値は何でしょうか？

ここでリーマン積分を使おうとすると、すべての区間には有理数や無理数が無限に含まれるので、この関数のグラフは矩形で近似できないので、リーマン積分を使って面積を計算することはできません。 しかし、ルベーグ積分の視点を使えば、ffは0と1の2つの値しか取らないので、それらの値を取っている集合の大きさを考えて、適当な値を掛けるだけでよいのです。

有理数は数えられるほどしかなく、無数にある無理数もあるので、（0，1）（0，1）における有理の尺度は0、無理数の尺度は1であり、(0，1）（1，1）における無理数の尺度は、0であり、無理数の尺度は1です。 有理数ではfffは1の値をとるので、積分には0・1=00cdot 1=00・1=0が寄与し、同様に、無理数は1・0=01cdot 0=01・0=0が寄与することになり、積分の値は0になります。 □□□□□

要するにルベーグ積分は、ある点での関数の値ではなく、ある値がどのくらいの頻度で得られるかを見ているのです。 Reinhard Siegmund-Schultzeによると、ルベーグ自身がこの考えをPaul Montelへの手紙の中で説明し、

「私はある金額を支払わなければならないが、それは私のポケットに集めたものである。 私はポケットから紙幣と硬貨を取り出し、合計金額に達するまで、見つけた順に債権者に渡していく。 これがリーマン積分である． しかし，別の進め方もできる． 私はポケットからすべてのお金を取り出した後，紙幣と硬貨を同一の価値に従って並べ，いくつかの山を債権者に次々と支払っていくのである． これが私の積分です」