1 BEVEZETÉS

Ez a fejezet az idő és a változás ábrázolásával foglalkozik a klasszikus (azaz nem kvantum) fizikai elméletekben. A fejezet egyik fő célja, hogy megkísérelje tisztázni az úgynevezett időprobléma természetét és terjedelmét: azon technikai és értelmezési problémák csomóját, amelyek látszólag útjában állnak az általános relativitáselmélet kvantálására tett kísérleteknek, és amelyek az elmélet általános kovarianciájában gyökereznek.

A kérdések legtermészetesebb megközelítése a világosabb esetek vizsgálatán keresztül történik. Ezért a fejezet nagy részét az idő és a változás más, jobban megértett elméletekben való ábrázolásának megvitatására fordítjuk, a legegyszerűbb esetekkel kezdve, és olyan esetek vizsgálatán keresztül haladva, amelyek így vagy úgy, de felkészítenek az általános relativitáselmélet azon jellemzőire, amelyek az idő problémájáért felelősek.

Hadd kezdjem azzal, hogy egy kicsit elmondom, miféle dologra gondolok, amikor az idő és a változás fizikai elméletekben való ábrázolásáról beszélek, megalapozva a vitát a legfoghatóbb esetre, a newtoni fizikára.

Teljesen általános kérdésként egy fizikai elmélet tartalmára vonatkozó számos kérdés és állítás kétféle értelmezést enged meg – mint az elmélet mozgásegyenletei megoldásainak szerkezeti jellemzőire vonatkozó kérdések, vagy mint ezen egyenletek szerkezeti jellemzőire vonatkozó kérdések. Az idő például egyrészt azoknak a téridőnek az aspektusaként jelenik meg, amelyekben a fizika kibontakozik – vagyis annak a háttérnek az aspektusaként, amelyben az elmélet egyenleteinek megoldásai elhelyezkednek. Másrészt az idő a fizika törvényeiben betöltött szerepe révén jelenik meg – különösen az e törvényeket kódoló differenciálegyenletekben betöltött szerepe révén. Az idő természetére vonatkozó kérdések és állítások a fizikai elméletekben tehát kétféle olvasatot tesznek lehetővé.

Mondjuk például azt az állítást, hogy az idő homogén a newtoni fizikában (vagy, ahogy Newton mondaná, hogy az idő egyenletesen folyik). Kétféle tényt tekinthetünk ennek az állításnak az alapjául.

A newtoni környezetben e kétféle megfontolás szépen illeszkedik egymásba és kölcsönösen támogatja egymást: a törvények szimmetriái és a téridő szimmetriái között összhang van. Elvileg azonban a kétféle megfontolásnak nem kell ugyanahhoz a válaszhoz vezetnie: tekinthetünk egy olyan rendszert a newtoni téridőben, amelyre időfüggő erők hatnak; vagy a newtoni n-test-problémát egy olyan téridőbe helyezhetjük, amelyben van egy preferált pillanat, de egyébként a newtoni téridő szerkezetével rendelkezik. És ahogy távolodunk a newtoni fizika megszokott környezetétől, még fontosabbá válik a két megközelítés megkülönböztetése: az általános relativitáselméletben a törvények hatalmas (valójában végtelen dimenziós) szimmetriacsoporttal rendelkeznek, míg az általános megoldások egyáltalán nem rendelkeznek szimmetriákkal.

Az idő és a változás ábrázolásának tárgyalásakor ez a fejezet a fizikai elméletek törvényeinek szerkezeti jellemzőire összpontosít, nem pedig az egyes megoldások jellemzőire. Hogy ezt hangsúlyozzam, azt fogom mondani, hogy ennek vagy annak az elméletnek mint dinamikai elméletnek a struktúrája érdekel.

Témáimat a klasszikus elméletek Lagrange- és Hamilton-elméletek megközelítésén keresztül fogom megközelíteni, két nagy átfogó – és egymással szorosan összefüggő – keretben, amelyekben az ilyen témák természetes módon tárgyalhatók.4 Durván szólva, e megközelítések mindegyikében az elmélet egyenleteinek tartalma bizonyos struktúrákban van kódolva az elmélethez kapcsolódó lehetőségek terében.5 A Lagrange-megközelítésben a bemutatott tér az elmélet egyenleteinek megoldásainak tere, amelyet heurisztikus célokból azonosíthatunk az elmélet által megengedett lehetséges világok terével.6 A Hamiltoni megközelítésben a bemutatott tér az elmélet egyenleteihez tartozó kezdeti adatok tere, amelyet ugyanebben a szellemben azonosíthatunk az elmélet által megengedett lehetséges pillanatnyi állapotok terével.

A newtoni mechanikában a törvények időbeli transzlációs invariabilitásának a Lagrange-féle keretben való tükröződése az, hogy a megoldások tere maga is invariáns az időbeli transzlációkkal szemben: adott a téridőben Newton mozgástörvényeinek engedelmeskedő részecskepályák halmaza, megalkothatjuk azoknak a részecskepályáknak a halmazát, amelyek akkor adódnak, ha minden eseményt időben t összeggel elfordítunk; ez utóbbi halmaz a megoldás (ill, a mozgástörvények megengedik), ha és csak akkor, ha az előbbi halmaz is az; továbbá az a térkép, amely egy megoldásból annak időbeli átfordításába visz minket, megőrzi a megoldások terének azt a struktúráját, amely az elmélet dinamikáját kódolja. A Hamilton-féle keretben viszont a törvények időbeli transzlációs invariánssága egy olyan térkép létezésében tükröződik, amely egy kezdeti adathalmazt elküld abba az állapotba, amelybe t időegység alatt fog fejlődni; ez a térkép ismét változatlanul hagyja az elmélet dinamikáját kódoló struktúrát a téren. Az elmélet dinamikájának időbeli szimmetriáját tehát a Lagrange-féle oldalon az időbeli transzláció, a Hamilton-féle oldalon pedig az időbeli evolúció fogalma tükrözi.

A változás ábrázolása a newtoni fizikában a Lagrange- és a Hamilton-féle kereteken belül is különböző (de egymással szorosan összefüggő) formákat ölt. A változás abban áll, hogy egy rendszer különböző időpontokban különböző és egymással összeegyeztethetetlen tulajdonságokkal rendelkezik. Azt akarjuk például mondani, hogy egy kéttestű rendszer megfigyelhető tulajdonságaiban akkor és csak akkor van változás, ha a részecskék közötti relatív távolság különböző időpontokban eltérő.

Hamiltoni megközelítés. Egy ilyen rendszer pillanatnyi dinamikai állapotának megadása elegendő a részecskék közötti pillanatnyi relatív távolság megadásához. Létezik tehát egy függvény a kezdeti adatok terében, amely ennek a mennyiségnek felel meg. A rendszer előzménye egy pálya a kezdeti adatok terében. Egyszerű példánkban megfigyelhető változás akkor és csak akkor következik be egy adott előzmény során, ha a részecskék közötti relatív távolságnak megfelelő függvény a kérdéses pálya különböző pontjain különböző értékeket vesz fel. Általánosabban, bármely newtoni rendszerben bármely fizikai érdekű (megfigyelhető vagy nem megfigyelhető) mennyiséget a kezdeti adatok terében egy függvény reprezentál, és egy pálya ebben a térben az ilyen mennyiségeket akkor jelenti változásnak, ha a megfelelő függvények a pálya különböző pontjain különböző értékeket vesznek fel.

Lagrangian Approach. Nyilvánvaló, hogy a megoldások terében egyetlen függvény sem képes ugyanolyan közvetlenül ábrázolni egy változó mennyiséget, mint a kezdeti adatok terében lévő függvények. De minden t időpontra létezik egy függvény a kéttest-problémánk megoldásainak terén, amely minden megoldáshoz hozzárendeli a részecskék közötti relatív távolságot a t időpontban az adott megoldás szerint. Ha hagyjuk, hogy a t változó legyen, akkor a megoldások terére egy egyparaméteres függvénycsaládot állítunk fel. A mozgásegyenletek egy megoldása akkor és csak akkor jelenti a részecskék közötti relatív távolságot változónak, ha ennek az egyparaméteres függvénycsaládnak különböző tagjai az adott megoldáson kiértékelve különböző értékeket vesznek fel. És így tovább általánosságban: minden változtatható fizikai mennyiség megfelel egy ilyen egyparaméteres függvénycsaládnak a megoldások terében, és a változás úgy értendő, mint az egyszerű kéttestes példában.

Ennyit arról, hogy mire gondolok, amikor az idő és a változás fizikai elméletben való ábrázolásáról beszélek. Mielőtt felvázolnám azt az utat, amelyen ez a fejezet e témák tárgyalása során halad, talán hasznos lesz egy kicsit szólni a végső céljáról – az úgynevezett időprobléma természetének tisztázásáról. Az idő problémájának tárgyalása jellemzően az általános relativitáselmélet Hamilton-féle változataira összpontosít, amelyekben a lehetséges pillanatnyi geometriák (metrikák és második alapformák Cauchy-felületeken) terére összpontosítanak. Ez némileg szerencsétlen, mivel az ilyen megközelítések eleve megkövetelik a téridőnek a térszerű hipersíkok családjára való felosztását – ami úgy tűnik, hogy ellentétes az elmélet általános kovarianciájának szokásos értelmezésével. Ennek fényében aggodalomra ad okot, hogy az idő problémájának néhány aspektusa, ahogyan azt általában bemutatják, ennek a meglehetősen kényelmetlen eljárásmódnak a következménye. Én egy kissé más utat követek, és mindig a Lagrange-megközelítésben rögzítem a vitámat, amely a rendszerek teljes történetét tekinti alapvetőnek, nem pedig pillanatnyi állapotokat.

Az alábbiakban kifejtett nézet szerint az idő problémájának lényege nagyjából az, hogy az általános relativitáselméletben, dinamikusan értelmezve, nincs mód arra, hogy az időfejlődést vagy az időátvitelt az elmélet szimmetriáinak tekintsük, és ezzel összefüggésben nincs természetes módja annak, hogy a változásokat a Lagrange- és Hamilton-megközelítésben felmerülő tereken lévő függvényeken keresztül modellezzük.7 Ez jelzi azt a szempontot, amelyben az általános relativitáselmélet, így felfogva, nagyban különbözik a korábbi, fundamentálisnak tűnő elméletektől.

Az idő problémája – talán – nem hangzik túl sürgetőnek. Az biztos, hogy vannak itt rejtélyek. Miért kellene az általános relativitáselméletnek ily módon eltérnie elődeitől? Az általános relativitáselmélet elődeiben az idő és a változás ábrázolása egy nagyon csinos csomagba van kötve – hogyan néz ki ennek a csomagnak az általános relativista helyettesítője? Ezek érdekes kérdések. De akkor persze senki sem várhatja el, hogy az általános relativitáselméletben az időt úgy ábrázolják, mint az elődökben – az, hogy az elmélet az idő és a tér teljesen új képét mutatja be, az elmélet egyik dicsősége. És azt is gondolhatnánk: mivel a téridő szerkezete megoldásról megoldásra változik az általános relativitáselméletben, bizonyára célszerűbb megvizsgálni az idő ábrázolását ebben vagy abban a fizikailag reális megoldásban, mint az elmélet egyenleteiben, ha meg akarjuk érteni, mit mond az elmélet az idő természetéről a mi világunkban.

Az idő problémája azonban még sürgetőbb aspektust kap, ha az általános relativitáselmélet (vagy bármely más, a megfelelő értelemben általában kovariáns elmélet) kvantálását vizsgáljuk. Az utódelméletek konstruálásának projektje természetesen az adott elméletek strukturális jellemzőire irányítja figyelmünket – az utódelméletek konstruálásakor az embernek az a dolga, hogy fogadásokat kössön arra, hogy a jelenlegi elméletek mely ilyen jellemzői fognak tovább élni (esetleg új formában), és melyek maradnak el. A kvantálás ismert technikái pedig nemcsak differenciálegyenleteket, hanem Hamiltoni vagy Lagrange-féle elméleteket is igényelnek. Így azok számára, akik az általános relativitáselmélet kvantálásában érdekeltek, az elmélet mint dinamikai elmélet szerkezetére vonatkozó kérdések természetesen nagy jelentőséggel bírnak. A fent említett rejtélyek megoldásának hiányában pedig koncepcionális nehézségekre számíthatunk az általános relativitáselmélet kvantálásának megfogalmazása (vagy az abból való előrejelzések kinyerése) során. Ebből a szempontból tehát az idő problémája valójában igencsak sürgető.

Ez a fejezet hosszú utat tesz meg az idő problémájához. A 2. szakaszban a Hamiltoni- és Lagrange-mechanika legrövidebb bevezetésével kezdem, hogy motiváljam a következők egy részét. A 3. szakaszban a klasszikus mechanika alapjául szolgáló matematikai terület, a szimplektikus geometria néhány fontos fogalmát és eredményét vázolom fel. Az itt bemutatott fogalmak kulcsfontosságúak a következők szempontjából: jól viselkedő elméletek esetén a megoldások tere (a Lagrange-elmélet oldalán) és a kezdeti adatok tere (a Hamilton-elmélet oldalán) egyaránt szimplektikus struktúrájú. És látni fogjuk, hogy különböző szimplektikus (vagy majdnem szimplektikus) terek keletkeznek akkor is, ha eltávolodunk az ideális esettől. A 4. szakaszban felvázolom a modern Lagrange-mechanika nagyon erős keretét, a lokális megőrzési törvények apparátusával.

Az 5. szakaszban felvázolom a Lagrange- és Hamiltoni-képet olyan ideálisan jól viselkedő elméletekhez, amelyek kielégítik a következő feltételeket: (i) a háttér téridőgeometria megenged egy időátvitel-csoportot, és az elmélet Lagrange-je (megfelelő értelemben) invariáns e csoport hatása alatt; (ii) az elmélet egyenleteinek kezdeti adatainak megadása elegendő egyetlen maximális megoldás meghatározásához; (iii) ez a maximális megoldás az időparaméter minden értékére definiált. Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor azt találjuk, hogy a Lagrange-oldalon a megoldások terére egy időbeli transzlációs szimmetriákból álló csoport működik, míg a Hamilton-oldalon a kezdeti adatok terére egy időfejlődést megvalósító csoport. Ez a két tér izomorf, és a két csoporthatás kielégítő módon összefonódik. Egyszerű és tetszetős beszámolót tudunk adni arról, hogy a két alapvető tér bármelyikében hogyan ábrázolódik a változás.

A 6. szakaszban rátérek azokra a bonyodalmakra, amelyeket akkor kell bevezetni a képbe, ha az előző bekezdés (i)-(iii) feltételeinek bármelyikét elhagyjuk. Végül a 7. szakaszban az idő és a változás ábrázolásával foglalkozom az általános relativitáselméletben. Ez közvetlenül az idő problémájához vezet.

Amint e vázlatból is kitűnik, a fejezet nagy részét a technikai anyag kifejtésének szenteljük. Annak érdekében, hogy a terjedelem ésszerű maradjon, azt kellett feltételeznem, hogy az olvasó meglehetősen nagy technikai háttérrel érkezik ehhez a fejezethez. Igyekeztem olyan ideális olvasónak írni, aki korábban már tanult általános relativitáselméletet vagy mérőszámelméletet, és ezért jól érzi magát a differenciálgeometria alapfogalmaival, eredményeivel és konstrukcióival (bár néhány stratégiai ponton az ilyen olvasók emlékezetének felfrissítésére szolgáló tárgyalást is beépítettem).

Ez a fejezet a Lagrange-mechanika modern geometriai megközelítésén alapul, amelyet a 4. fejezetben a legapróbb vázlatban mutatok be. Ez a matematikusok által viszonylag nemrégiben kidolgozott megközelítés inkább egy igen absztrakt keretet biztosít a fizikai elméletekről való gondolkodáshoz, mintsem egy adott elmélet teljesen szigorú kezelését. Formális, differenciálgeometriai szinten létezik: a hangsúly a különböző terek geometriai szerkezetén, valamint az egyenletek és konstrukciók geometriai tartalmán van; a funkcionális analitikai részleteket nem vesszük figyelembe. A többi fejezetben vázolt anyag nagy része ugyanezen a szinten működik.

Tartalmilag ez a fejezet némileg átfedésben van a , , és . De a legszorosabb kapcsolatban áll a . Butterfield fejezete filozófiai bevezetést nyújt a mechanika modern geometriai megközelítéseihez; a jelen fejezet e megközelítés filozófiai problémára való alkalmazásának példájaként szolgál. A jelen fejezetet azonban önállónak szánjuk. És valójában jelentős különbség van a hangsúlyok között e fejezet és Butterfield fejezete között: az utóbbi a véges dimenziós rendszerekre korlátozódik, és a dolgok Hamilton-féle oldalára összpontosít; a jelen fejezet elsősorban a mezőelméletekkel foglalkozik, és sokkal nagyobb mértékben a Lagrange-féle megközelítésre összpontosít.

1. MEGJEGYZÉS (jelölés és terminológia).

A térelmélet megoldások terének elemeit és struktúráit mindig nagybetűkkel (görög vagy latin), míg a térelmélet kezdeti adatok terének elemeit és struktúráit mindig kisbetűkkel (görög vagy latin) jelöljük. A vastag betűs betűk háromvektoros vagy háromvektoros értékű függvényeket jelölnek. Ebben a fejezetben a görbe hivatalosan a valós számok intervallumaiból egy olyan térbe való leképezés, amely egy sokaság vagy egy sokaság enyhe általánosítása – néha a hangsúly kedvéért a görbét redundánsan paraméterezett görbének nevezem. Az affin paraméterezett görbe az ilyen görbék ekvivalenciaosztálya, ahol két görbe akkor számít ekvivalensnek, ha azonos képük van, és paraméterezésük az origó megválasztásáig megegyezik.8 A nem paraméterezett görbe a görbék ekvivalenciaosztálya, az ekvivalencia reláció alapján, ahol a görbék akkor számítanak ekvivalensnek, ha azonos képük van. Néha összekeverem a görbét és a képét.

REMARK 2 (Lehetséges világokról való beszéd).

A továbbiakban, különösen a 7. szakaszban, néha úgy beszélek a megoldások (kezdeti adatok) terének pontjairól, mint amelyek az elmélet által megengedett lehetséges világokat (lehetséges pillanatnyi állapotokat) képviselik, noha nem állítom, hogy itt finom értelmezési kérdésekkel foglalkozom. Az ilyesmit csak durván és heurisztikusan értem. A gondolat az, hogy amikor megpróbálunk megérteni egy elméletet, akkor részben az elmélet érthető megfogalmazását keressük; és joggal remélhetjük, hogy ha egy megfogalmazás érthető, akkor létezik az elméletnek egy prima facie vonzó értelmezése, amely szerint van egy bijekció a megoldások (kezdeti adatok) és a lehetséges világok (lehetséges pillanatnyi állapotok) tere között, amelyeket az elmélet ezen értelmezés szerint megenged. Ez nem tagadja, hogy lehetnek okok az ilyen értelmezések végső soron történő elutasítására: egy Leibnizeus megelégedhet a klasszikus mechanika standard megfogalmazásával, még akkor is, ha ez azt jelenti, hogy a megoldások és a lehetséges világok közötti reprezentációs kapcsolatot sok az egyhez viszonyítottnak kell tekinteni, mivel az időátvitel által egymáshoz kapcsolódó megoldásokat úgy kell tekinteni, mint amelyek ugyanannak a lehetséges világnak felelnek meg.