L’intégrale de Lebesgue fonctionne en calculant la valeur d’une intégrale en fonction des valeurs yyy au lieu des valeurs xxx.

Let

f(x)={14 si 0≤x≤3412 si 34<x≤1.f(x)=\begin{cases}. \frac{1}{4} \text{ if } 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}\text{ si } \frac{3}{4}<x\leq 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 si 0≤x≤4321 si 43<x≤1.

Quelle est la valeur de ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx ?

Ce graphique est constitué de deux segments de droite, donc l’aire sous celui-ci peut être considérée comme deux rectangles, donc l’intégrale a pour valeur 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165.Lorsque nous utilisons l’intégrale de Riemann cependant, nous pensons en fait à cela de manière légèrement différente : nous dessinons de nombreux petits rectangles, et les utilisons pour « approximer » les grands rectangles, bien que dans ce cas l’approximation soit exacte.

L’intégrale de Lebesgue pense à ce problème d’une manière différente : la fonction fff ne prend que les valeurs 14\frac1441 et 12\frac1221, on considère donc la taille des ensembles sur lesquels fff prend ces valeurs. Elles sont respectivement de 34\frac3443 et 14\frac1441, donc l’aire totale doit être 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

Dans ce cas, la distinction entre les deux façons de penser l’aire n’a pas de sens, mais comme le montre l’exemple suivant, ce n’est pas toujours le cas.

Laissez

f(x)={1 si x est rationnel0 si x est irrationnel. f(x)=\begin{cases} 1\text{ if } x\text{ est rationnel}\\\\ 0\text{ si }x\text{ est irrationnel}. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 si x est rationnel0 si x est irrationnel.

Quelle est la valeur de ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx ?

Si nous essayons d’utiliser l’intégrale de Riemann ici, comme chaque intervalle contient une infinité de nombres rationnels et irrationnels, le graphe de cette fonction ne peut pas être approximé par des rectangles, donc l’aire ne peut pas être calculée en utilisant l’intégrale de Riemann. Mais en utilisant la perspective de l’intégrale de Lebesgue, puisque fff ne prend que deux valeurs, 0 et 1, tout ce que nous devons faire est de penser à la taille des ensembles sur lesquels elle prend ces valeurs, puis de multiplier par les valeurs appropriées.

Il n’y a qu’un nombre dénombrable de rationnels et un nombre indénombrable d’irrationnels, donc la mesure des rationnels dans (0,1)(0,1)(0,1) est 0, et la mesure des irrationnels est 1. Puisque fff prend la valeur 1 aux rationnels, ils contribuent 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0 à l’intégrale ; de même, les irrationnels contribuent 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0. Ainsi, la valeur de l’intégrale est 0. □_\square□

En substance, l’intégrale de Lebesgue s’intéresse à la fréquence à laquelle une fonction atteint une certaine valeur plutôt qu’à la valeur d’une fonction en un point particulier. Selon Reinhard Siegmund-Schultze, Lebesgue lui-même a expliqué cette idée dans une lettre à Paul Montel, écrivant

« Je dois payer une certaine somme, que j’ai recueillie dans ma poche. Je sors les billets et les pièces de ma poche et je les donne au créancier dans l’ordre où je les trouve jusqu’à ce que j’aie atteint la somme totale. C’est l’intégrale de Riemann. Mais je peux procéder différemment. Après avoir sorti tout l’argent de ma poche, je range les billets et les pièces de monnaie selon des valeurs identiques, puis je verse les plusieurs tas les uns après les autres au créancier. C’est mon intégrale. »