Lebesgue-integraali toimii laskemalla integraalin arvo yyy-arvojen perusteella xxx-arvojen sijaan.

Let

f(x)={14 jos 0≤x≤3412 jos 34<x≤1.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{4} \text{ if} 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}\text{ if } \frac{3}{4}<x\leq 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 jos 0≤x≤4321 jos 43<x≤1.

Mikä on ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx arvo?

Tämä kuvaaja koostuu kahdesta viivasegmentistä, joten sen alle jäävää aluetta voidaan ajatella kahtena suorakulmiona, joten integraalin arvo on 34⋅14+14⋅12=516. \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165. Kun käytämme Riemannin integraalia, ajattelemme asiaa kuitenkin hieman eri tavalla: piirrämme monia pienempiä suorakulmioita ja käytämme niitä ”approksimoimaan” suuria suorakulmioita, vaikka tässä tapauksessa approksimaatio on tarkka.

Lebesgue-integraali ajattelee tätä ongelmaa eri tavalla: funktio fff ottaa vain arvot 14\frac1441 ja 12\frac1221, joten tarkastelemme niiden joukkojen kokoa, joilla fff ottaa nämä arvot. Ne ovat 34\frac3443 ja 14\frac1441, joten kokonaispinta-alan on oltava 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

Tässä tapauksessa näiden kahden tavan ajatella aluetta ei ole merkitystä, mutta kuten seuraava esimerkki osoittaa, näin ei aina ole.

Let

f(x)={1 jos x on rationaalinen0 jos x on irrationaalinen. f(x)=\begin{cases} 1\text{ if} x\text{ on rationaalinen}\\\\ 0\text{ jos x\text{ on irrationaalinen}. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 jos x on rationaalinen0 jos x on irrationaalinen.

Mikä on ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx arvo?

Jos yritämme käyttää tässä Riemannin integraalia, koska jokainen väli sisältää äärettömän monta rationaalista ja irrationaalista lukua, tämän funktion kuvaajaa ei voida approksimoida suorakulmioilla, joten pinta-alaa ei voida laskea Riemannin integraalin avulla. Mutta Lebesgue-integraalin näkökulmasta, koska fff ottaa vain kaksi arvoa, 0 ja 1, meidän tarvitsee vain miettiä niiden joukkojen kokoa, joilla se ottaa nämä arvot, ja sitten kertoa sopivilla arvoilla.

On vain laskennallisesti monta rationaalilukua ja lukemattomasti monta irrationaalilukua, joten rationaalilukujen mitta (0,1)(0,1)(0,1)(0,1)-alueella on 0 ja irrationaalilukujen mitta on 1. Koska fff ottaa rationaalien kohdalla arvon 1, niiden osuus integraalissa on 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0; vastaavasti irrationaalien osuus on 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0. Näin ollen integraalin arvo on 0. □_\\square□

Pohjimmiltaan Lebesgue-integraali tarkastelee sitä, kuinka usein funktio saavuttaa tietyn arvon, eikä niinkään funktion arvoa tietyssä pisteessä. Reinhard Siegmund-Schultzen mukaan Lebesgue itse selitti tämän ajatuksen kirjeessään Paul Montelille kirjoittaen

”Minun on maksettava tietty summa, jonka olen kerännyt taskuuni. Otan taskustani seteleitä ja kolikoita ja annan ne velkojalle siinä järjestyksessä kuin löydän ne, kunnes olen saavuttanut kokonaissumman. Tämä on Riemannin integraali. Mutta voin edetä myös toisin. Kun olen ottanut kaikki rahat taskustani, järjestän setelit ja kolikot samanlaisten arvojen mukaan ja maksan sitten useat kasat peräkkäin velkojalle. Tämä on minun integraalini.”