Helmholtzin resonaattorin ihannemuoto on ontelomainen tila, joka on melkein ohuen, liikkumattoman seinän ympäröimä ja jossa on pieni reikä, joka luo yhteyden sisä- ja ulkokaasun välille. Likimääräinen teoria, joka perustuu olettamukseen, että rei’itys on pieni ja näin ollen aërialisen värähtelyn aallonpituus on suuri, on peräisin Helmholtzilta, joka päätyi lopullisiin tuloksiin rei’ityksille, joiden ääriviivat ovat pyöreitä tai elliptisiä. Yksinkertaistettu ja joiltakin osin yleistetty käsittely on esitetty ”Resonanssia” käsittelevässä artikkelissani. Ääritapauksessa, jossa aallonpituus on riittävän suuri, värähtelyn liike-energia on suuaukon lähellä olevan kaasun liike-energia, kun se liikkuu sisään ja ulos, aivan kuten kokoonpuristumaton neste voi tehdä, ja potentiaalienergia on kaasun lähes tasaisen kokoonpuristumisen ja harvennuksen potentiaalienergia sisätilassa. Jälkimmäinen riippuu lähinnä ontelon tilavuudesta S ja läpäisseen kaasun määrästä, mutta kineettisen energian laskeminen aiheuttaa vaikeuksia, jotka on voitettu vain osittain. Kun kyseessä ovat yksinkertaiset aukot ohuessa seinämässä (jota pidetään tasona), vain pyöreitä ja elliptisiä muotoja voidaan käsitellä täydellisesti. Matemaattinen ongelma on sama kuin sellaisen ohuen johtavan levyn sähköstaattisen kapasiteetin määrittäminen, jolla on aukon muoto ja jonka oletetaan sijaitsevan avoimessa tilassa. Ongelman tiukempi käsittely pallonmuotoisen seinän ja ympyränmuotoisen aukon tapauksessa on ollut mielessäni yli 40 vuotta, osittain siinä toivossa, että päästäisiin lähempään tulokseen, ja osittain siksi, että jotkut matemaatikot ovat pitäneet aiempaa menetelmää epätyydyttävänä tai ainakin vaikeasti seurattavana. Tämä tutkielma koskee tavallisia linjoja, käyttäen renkaisiin sopivia pallofunktioita (Legendren funktioita), aivan kuten aikaisemmassa tutkielmassa ” On the Acoustic shadow of a Sphere.

”.