Das Lebesgue-Integral funktioniert, indem es den Wert eines Integrals auf der Grundlage von yyy-Werten anstelle von xxx-Werten berechnet.

Let

f(x)={14 if 0≤x≤3412 if 34<x≤1.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{4} \text{ if} 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}\text{ if } \frac{3}{4}<x\leq 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

Was ist der Wert von ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Dieser Graph besteht aus zwei Liniensegmenten, so dass man sich die Fläche darunter als zwei Rechtecke vorstellen kann, so dass das Integral den Wert 34⋅14+14⋅12=516 hat.\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165.Wenn wir das Riemann-Integral verwenden, denken wir allerdings etwas anders darüber: wir zeichnen viele kleinere Rechtecke und verwenden sie, um die großen Rechtecke zu „approximieren“, obwohl in diesem Fall die Approximation exakt ist.

Das Lebesgue-Integral betrachtet dieses Problem auf eine andere Weise: die Funktion fff nimmt nur die Werte 14\frac1441 und 12\frac1221 an, also betrachten wir die Größe der Mengen, auf denen fff diese Werte annimmt. Sie sind 34\frac3443 bzw. 14\frac1441, so dass die Gesamtfläche 14⋅34+12⋅14=516 sein muss. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

In diesem Fall ist der Unterschied zwischen den beiden Denkweisen über die Fläche bedeutungslos, aber wie das folgende Beispiel zeigt, ist das nicht immer der Fall.

Lassen Sie

f(x)={1 wenn x rational ist0 wenn x irrational ist. f(x)=\begin{cases} 1\text{ if } x\text{ ist rational}\\\\ 0\text{ wenn }x\text{ ist irrational}. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1, wenn x rational ist0, wenn x irrational ist.

Was ist der Wert von ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Wenn wir hier versuchen, das Riemannsche Integral zu verwenden, kann der Graph dieser Funktion nicht durch Rechtecke angenähert werden, da jedes Intervall unendlich viele rationale und irrationale Zahlen enthält, so dass die Fläche nicht mit dem Riemannschen Integral berechnet werden kann. Da fff aber nur zwei Werte annimmt, 0 und 1, müssen wir aus der Sicht des Lebesgue-Integrals nur über die Größe der Mengen nachdenken, auf denen es diese Werte annimmt, und dann mit den entsprechenden Werten multiplizieren.

Es gibt nur abzählbar viele rationale und unabzählbar viele irrationale Zahlen, also ist das Maß der rationalen Zahlen in (0,1)(0,1)(0,1) 0 und das Maß der irrationalen Zahlen 1. Da fff bei den Rationalen den Wert 1 annimmt, tragen sie 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0 zum Integral bei; ebenso tragen die Irrationalen 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0 bei. Der Wert des Integrals ist also 0. □_\square□

Im Wesentlichen geht es beim Lebesgue-Integral darum, wie oft eine Funktion einen bestimmten Wert erreicht, und nicht um den Wert einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Laut Reinhard Siegmund-Schultze erklärte Lebesgue selbst diese Idee in einem Brief an Paul Montel, indem er schrieb

„Ich muss eine bestimmte Summe bezahlen, die ich in meiner Tasche gesammelt habe. Ich nehme die Scheine und Münzen aus meiner Tasche und gebe sie dem Gläubiger in der Reihenfolge, in der ich sie finde, bis ich die Gesamtsumme erreicht habe. Das ist das Riemannsche Integral. Ich kann aber auch anders vorgehen. Nachdem ich alles Geld aus meiner Tasche genommen habe, ordne ich die Scheine und Münzen nach gleichen Werten und zahle dann die verschiedenen Haufen nacheinander an den Gläubiger aus. Das ist mein Integral.“