Lebesgue-integralet fungerer ved at beregne værdien af et integral baseret på yyy-værdier i stedet for xxx-værdier.

Lad

f(x)={14 hvis 0≤x≤3412 hvis 34<x≤1.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{4} \text{ if } 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}\text{ if } \frac{3}{4}<x\leq 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

Hvad er værdien af ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Denne graf består af to linjestykker, så arealet under den kan opfattes som to rektangler, så integralet har værdien 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165. Når vi bruger Riemann-integralet, tænker vi dog faktisk lidt anderledes: Vi tegner mange mindre rektangler og bruger dem til at “tilnærme” de store rektangler, selv om tilnærmelsen i dette tilfælde er nøjagtig.

Lebesgue-integralet tænker på dette problem på en anden måde: funktionen fff tager kun værdierne 14\frac1441 og 12\frac1221, så vi overvejer størrelsen af de mængder, som fff tager disse værdier på. De er henholdsvis 34\frac3443 og 14\frac1441, så det samlede areal må være 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

I dette tilfælde er forskellen mellem de to måder at tænke om arealet på meningsløs, men som det følgende eksempel viser, er det ikke altid tilfældet.

Lad

f(x)={1 hvis x er rationel0 hvis x er irrationel. f(x)=\begynder{tilfælde} 1\tekst{ hvis } x\text{ er rationel}\\\\ 0\text{ hvis }x\text{ er irrationel}. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1 hvis x er rationel0 hvis x er irrationel.

Hvad er værdien af ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Hvis vi forsøger at bruge Riemann-integralet her, fordi hvert interval indeholder uendeligt mange rationale og irrationale tal, kan grafen for denne funktion ikke tilnærmes ved rektangler, så arealet kan ikke beregnes ved hjælp af Riemann-integralet. Men hvis vi bruger Lebesgue-integralet som perspektiv, da fff kun tager to værdier, 0 og 1, er alt, hvad vi behøver at gøre, at tænke på størrelsen af de mængder, som den tager disse værdier på, og derefter gange med de relevante værdier.

Der er kun tælleligt mange rationale tal og utælleligt mange irrationale tal, så målet for de rationale tal i (0,1)(0,1)(0,1)(0,1)(0,1) er 0, og målet for de irrationale tal er 1. Da fff har værdien 1 ved de rationale, bidrager de med 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0 til integralet; på samme måde bidrager de irrationale med 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0. Således er værdien af integralet 0. □_\square□

I det væsentlige ser Lebesgue-integralet på, hvor ofte en funktion opnår en bestemt værdi, snarere end på værdien af en funktion i et bestemt punkt. Ifølge Reinhard Siegmund-Schultze forklarede Lebesgue selv denne idé i et brev til Paul Montel, hvor han skrev

“Jeg skal betale et bestemt beløb, som jeg har samlet i min lomme. Jeg tager sedler og mønter op af min lomme og giver dem til kreditor i den rækkefølge, jeg finder dem, indtil jeg har nået den samlede sum. Dette er Riemann-integralet. Men jeg kan gå anderledes frem. Når jeg har taget alle pengene op af lommen, ordner jeg sedlerne og mønterne efter identiske værdier, og derefter betaler jeg de forskellige bunker en efter en til kreditor. Dette er mit integral.”