Když se sonda New Horizons blíží k Plutu, pořizuje skvělé záběry. Následující animace ukazuje Pluto a Charon při jejich vzájemném obíhání.
Když má planeta (nebo trpasličí planeta) družici, lze pomocí pohybu tohoto objektu zjistit hmotnost planety. Není to příliš složité. Ve skutečnosti použijme výše uvedenou animaci k odhadu hmotnosti Pluta. Dobrá, potřebujeme jen jednu věc, která ve videu není. Potřebujeme znát vzdálenost Charonu od Pluta. Ve skutečnosti, kdybych znal úhlové zorné pole kamery, mohl bych vzdálenost oběžné dráhy získat z úhlové vzdálenosti mezi oběma objekty. Pro tento příklad však tuto hodnotu pouze vyhledám a použiji vzdálenost Pluto-Charon 1,957 x 107 m.
Také několik dalších poznámek k tomuto videu Pluto-Charon.
- Sekvence snímků ukazuje Pluto a Charon, jak se sonda k oběma objektům přibližuje. To znamená, že měřítko vzdálenosti se na každém snímku mění.
- Toto video je vztaženo k těžišti dráhy Charon-Pluto. Je vidět, že Pluto i Charon obíhají kolem společného středu.
- Na dráhu se nedíváme ze zcela kolmého úhlu. To znamená, že Charon nevypadá, že se pohybuje po kružnici (i když tomu tak v podstatě je).
Základní fyzika
Pro tento problém potřebujeme vlastně jen dva fyzikální principy – gravitační sílu a zrychlení objektu pohybujícího se po kružnici. Začněme gravitací.
Model gravitační interakce říká, že existuje přitažlivá síla pro přitahování objektů s hmotností. Velikost této síly je úměrná součinu hmotností obou interagujících objektů a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti mezi objekty. Velikost této síly mohu zapsat jako:
G je prostě konstanta, takže se tím netrap. Je tu však ještě jedna důležitá věc. Gravitační síla vždy přitahuje oba objekty k sobě a je ve směru druhého objektu.
Další důležitou myšlenkou je uvažovat zrychlení objektu pohybujícího se po kružnici – ano, Pluto i Charon se pohybují po kružnici kolem společného středu. Zde je diagram (ale ne v měřítku).
Každý objekt pohybující se po kružnici (i konstantní rychlostí) bude zrychlovat. Směr tohoto zrychlení bude směřovat do středu kružnice a bude mít velikost závislou jak na úhlové rychlosti, tak na poloměru kružnice. Toto zrychlení lze zapsat jako:
Zde ω je úhlová rychlost objektu v radiánech za sekundu. Ale myslím, že je tu ještě jedna fyzikální věc, na kterou je třeba se podívat: vztah mezi silou a zrychlením. Jednoduše řečeno, čím větší čistá síla působí na objekt, tím větší je zrychlení.
Teď si to všechno spojíme dohromady. Síla je gravitační síla a zrychlení je způsobeno kruhovým pohybem. Má to však jeden háček. Pokud to vypíšu pro pohyb Charonu, pak gravitační síla bude používat vzdálenost Charonu od Pluta, ale zrychlení bude používat vzdálenost Charonu od středu rotačního pohybu. Aby bylo jasno, budu vzdálenost mezi objekty nazývat r a poloměr Charonovy kruhové dráhy bude rc. Protože také gravitační síla (jediná síla) má stejný směr jako zrychlení, mohu to napsat jako skalární rovnici:
Hmotnost Charonu se ruší, a tak mohu řešit hmotnost Pluta.
Takže mi stačí obě vzdálenosti a úhlová rychlost Charonovy dráhy.
Zjištění hodnot
Již jsem řekl, že budu hledat vzdálenost Pluta od Charona. Potřebuji však vzdálenost od Charonu ke středu oběžné kružnice. Přeskakováním snímků animace najdu ten, který ukazuje Charon a Pluto nejdále od sebe – v tomto bodě vidím plnou velikost oběžné dráhy (bez perspektivy). Pomocí tohoto snímku a vzdálenosti Pluta od Charona dostanu poloměr kruhové dráhy 1,69 x 107 m.
Teď už potřebuji jen úhlovou rychlost dráhy. Pokud vyberu snímek, kdy je Charon téměř nad Plutem a pak kdy je téměř pod ním, bude to polovina oběžné dráhy. Když se podívám na časová razítka jednotlivých snímků, vyšlo by mi, že doba oběhu je přibližně 3,2 dne (276 480 sekund). To by znamenalo, že úhlová rychlost by byla:
Při použití gravitační konstanty G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 mohu dosadit všechny své hodnoty pro výpočet hmotnosti. Po zestručnění čísel dostanu hmotnost Pluta 1,24 x 1022 kg. BUM. To je docela blízko hodnotě uvedené na 22Wikipedii s hodnotou 1,3 x 1022. Považuji to za dostatečně blízké, aby se to dalo považovat za výhru.
A co hmotnost Charonu? Můžete použít stejnou myšlenku a oběžnou vzdálenost pro dráhu Pluta a získat odhad hmotnosti. Je to pro tebe domácí úkol.
Numerický model
Jen pro zajímavost, zde je numerický model znázorňující pohyb Pluta a Charona.
Výše uvedený kód je na trinket.io. To znamená, že se na kód můžete podívat A zároveň jej změnit. Zkuste změnit hmotnosti planet a uvidíte, co se stane. Všimněte si, že pokud se počáteční hybnosti obou planet nesčítají s nulovým vektorem, střed hmotnosti nezůstane nehybný. Je to zábavná věc.