Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen byl jedním z nové generace amerických matematiků inspirovaných přílivem evropských exulantů v letech války. Sám byl druhou generací židovských přistěhovalců, ale byl skličujícím způsobem inteligentní a nesmírně ambiciózní. Díky své inteligenci a síle vůle se mu podařilo získat slávu, bohatství a nejvyšší matematické ceny.
Vzdělával se na univerzitách v New Yorku, Brooklynu a Chicagu a poté se vypracoval na profesora na Stanfordově univerzitě. Poté získal prestižní Fieldsovu medaili za matematiku, Národní medaili za vědu a Bôcherovu pamětní cenu za matematickou analýzu. Jeho matematické zájmy byly velmi široké, sahaly od matematické analýzy a diferenciálních rovnic až po matematickou logiku a teorii čísel.
Na počátku 60. let se horlivě zabýval prvním z 23 Hilbertových seznamů otevřených problémů, Cantorovou hypotézou kontinua, zda existuje množina čísel větší než množina všech přirozených (neboli celých) čísel, ale menší než množina reálných (neboli desetinných) čísel. Cantor byl přesvědčen, že odpověď zní „ne“, ale nedokázal to uspokojivě dokázat, stejně jako nikdo jiný, kdo se od té doby tomuto problému věnoval.
Jedna z několika alternativních formulací Zermelo-Fraenkelova axiomu a axiomu volby
Od doby Cantora bylo dosaženo určitého pokroku. Přibližně v letech 1908 až 1922 vypracovali Ernst Zermelo a Abraham Fraenkel standardní podobu axiomatické teorie množin, která se měla stát nejrozšířenějším základem matematiky, známou jako Zermelo-Fraenkelova teorie množin (ZF nebo v modifikaci Axiom volby jako ZFC).
Kurt Gödel v roce 1940 ukázal, že hypotéza kontinua je v souladu se ZF a že hypotézu kontinua nelze ze standardní Zermelo-Fraenkelovy teorie množin vyvrátit, ani když se přijme axiom volby. Cohenovým úkolem tedy bylo ukázat, že hypotéza kontinua je (nebo není) nezávislá na ZF, a konkrétně dokázat nezávislost axiomu volby.
Technika vynucování
Cohenův mimořádný a odvážný závěr, k němuž dospěl pomocí nové techniky, kterou sám vyvinul a kterou nazval „vynucování“, byl, že obě odpovědi mohou být pravdivé, tj. že hypotéza kontinua a axiom volby jsou zcela nezávislé na teorii množin ZF. Mohly by tedy existovat dvě různé, vnitřně konzistentní matematiky: jedna, kde je hypotéza kontinua pravdivá (a taková množina čísel neexistuje), a druhá, kde je hypotéza nepravdivá (a množina čísel existuje). Důkaz se zdál být správný, ale Cohenovy metody, zejména jeho nová technika „forsírování“, byly natolik nové, že si nikdo nebyl zcela jistý, dokud Gödel v roce 1963 konečně nedal své razítko.
Jeho závěry byly stejně revoluční jako Gödelovy vlastní. Od té doby matematici vybudovali dva různé matematické světy, jeden, ve kterém hypotéza kontinua platí, a druhý, ve kterém neplatí, a do moderních matematických důkazů se musí vkládat tvrzení deklarující, zda výsledek závisí na hypotéze kontinua, či nikoliv.
Kohenův důkaz, který změnil paradigma, mu přinesl slávu, bohatství a spoustu matematických cen a stal se špičkovým profesorem na Stanfordu a Princetonu. Povzbuzen úspěchem se rozhodl vyřešit svatý grál moderní matematiky, Hilbertův osmý problém, Riemannovu hypotézu. Nakonec však nad tímto problémem strávil posledních 40 let svého života až do své smrti v roce 2007, a to stále bez řešení (i když jeho přístup dal novou naději jiným, včetně jeho geniálního studenta Petera Sarnaka).
| << Zpět k Weilovi | Především k Robinsonovi a Matijaševičovi >> |
.