Idea

Dr. von Neumann, ich möchte gerne wissen, was ist denn eigentlich ein Hilbertscher Raum ? 1

Hilbertův prostor je (možná) nekonečně rozměrné zobecnění tradičních prostorů euklidovské geometrie, ve kterém mají pojmy vzdálenost a úhel stále dobrý smysl. K tomu slouží algebraická operace, vnitřní součin, která zobecňuje bodový součin.

Hilbertovy prostory se proslavily ve světě díky svým aplikacím ve fyzice, kde organizují čisté stavy kvantových systémů.

Hilbertovy prostory tvoří kategorii, Hilb.

Viz také

• elementární pojednání o Hilbertových prostorech.

Definice

Nechť VV je vektorový prostor nad polem komplexních čísel. (Volbu pole lze poněkud zobecnit.) Vnitřní součin (v nejobecnějším, případně neurčitém smyslu) na VV je funkce

který je (1â3) seskvilineární a (4) konjugovaně symetrický; tj:

1. â¨0,xâ©=0 \úhelník 0, x \úhelník = 0 a â¨x,0â©=0 \úhelník x, 0 \úhelník = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle a â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \langle x, y \rangle a â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \langle x, c y \rangle = c \langle x, y \rangle ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} .

Používáme zde konvenci fyziků, že vnitřní součin je konjugovaný lineární v první proměnné, nikoliv v druhé, a nikoliv konvenci matematiků, která je opačná. Fyzikova konvence se o něco lépe hodí k 22-Hilbertovým prostorům. Všimněte si, že jako hodnoty vnitřního součinu používáme stejné pole jako pro skaláry; komplexní konjugace bude pro některé volby pole irelevantní.

Výše uvedený seznam axiomů je poněkud nadbytečný. Především (1) vyplývá z (3) nastavením c=0c = 0; kromě toho (1â3) přicházejí ve dvojicích, z nichž potřebujeme jen jednu, protože každá polovina vyplývá z druhé pomocí (4). Dokonce je možné odvodit (3) z (2) za předpokladu, že VV je topologický vektorový prostor a že vnitřní součin je spojitý (což, jak uvidíme, pro Hilbertův prostor stejně vždy platí).

Dalším pojmem, který je třeba definovat, je (polo)určitost. Definujeme funkci âââ 2:Vââ\|{-}\|^2: V \do \mathbb{C} pomocí âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \úhelník x, x \úhelník; ve skutečnosti âââ 2\|{-}\|^2 nabývá podle (4) pouze reálných hodnot. * Vnitřní součin je kladně semidefinitní nebo prostě kladný, jestliže âxâ 2â¥0\|x\|^2 \geq vždy 0. * Všimněte si, že (podle 1) âxâ 2=0\|x\|^2 = 0, jestliže x=0x = 0; vnitřní součin je definitní, jestliže platí opak. * Vnitřní součin je kladně definitní, jestliže je kladný i definitní. * Mimochodem, existují také záporné (polo)definitní vnitřní součin, které jsou o něco méně výhodné, ale ve skutečnosti se neliší. Vnitřní součin je neurčitý, jestliže některé âxâ 2\|x\|^2 jsou kladné a některé záporné; ty mají velmi odlišnou příchuť.

Vnitřní součin je úplný, jestliže je dána libovolná nekonečná posloupnost (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) taková, že

existuje (nutně jedinečný) součet SS takový, že

Je-li vnitřní součin definitní, pak tento součet, pokud existuje, musí být jedinečný a píšeme

(přičemž pravá strana je neurčitá, pokud takový součet neexistuje).

Tedy Hilbertův prostor je jednoduše vektorový prostor vybavený úplným kladným definitním vnitřním součinem.

Hilbertovy prostory jako Banachovy prostory

Je-li vnitřní součin kladný, pak můžeme vzít hlavní odmocninu z âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle a získat reálné číslo âxâ\|x\|, normu xx.

Tato norma splňuje všechny požadavky na Banachův prostor. Navíc splňuje zákon paralelogramu

který nemusí splňovat všechny Banachovy prostory. (Název tohoto zákona pochází z jeho geometrické interpretace: normy na levé straně jsou délky úhlopříček rovnoběžníku, zatímco normy na pravé straně jsou délky stran.)

Každý Banachův prostor splňující zákon rovnoběžníku má navíc jedinečný vnitřní součin, který reprodukuje normu, definovanou vztahem

nebo 12(âx+yâ 2âxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2) v reálném případě.

Proto je možné definovat Hilbertův prostor jako Banachův prostor, který splňuje zákon paralelogramu. Ve skutečnosti to funguje trochu obecněji; pozitivně semidefinitní prostor vnitřního součinu je pseudonormovaný vektorový prostor, který splňuje paralelogramový zákon. (Nemůžeme však získat neurčitý vnitřní součin z normy.)

Hilbertovy prostory jako metrické prostory

V každém prostoru s kladným semidefinitním vnitřním součinem nechť je vzdálenost d(x,y)d(x,y)

Pak je dd pseudometrická; je to úplná metrika tehdy a jen tehdy, máme-li Hilbertův prostor.

Ve skutečnosti lze axiomy Banachova prostoru (nebo pseudonormovaného vektorového prostoru) zapsat zcela v termínech metriky; můžeme také uvést paralelogramový zákon takto:

V definicích se asi nejčastěji setkáváme s tím, že metrika je zavedena pouze pro uvedení požadavku úplnosti. Vždyť (1) říká, že posloupnost dílčích součtů je Cauchyho posloupnost, zatímco (2) říká, že posloupnost dílčích součtů konverguje k SS.

Hilbertovy prostory jako konformní prostory

Dáme-li dva vektory xx a yy, oba nenulové, nechť úhel mezi nimi je úhel θ(x,y)\theta(x,y), jehož kosinus je

(Všimněte si, že tento úhel může být obecně imaginární, ale ne pro Hilbertův prostor nad â\mathbb{R}.)

Hilbertův prostor však nelze zcela rekonstruovat z jeho úhlů (ani vzhledem k základnímu vektorovému prostoru). Vnitřní součin lze obnovit pouze do kladného činitele měřítka.

Morfismy Hilbertových prostorů

Viz diskusi u Banachova prostoru. Zde je třeba říci více o duálech (včetně toho, proč je teorie Hilbertových prostorů o něco hezčí nad â\mathbb{C}, zatímco teorie Banachových prostorů je o něco hezčí nad â\mathbb{R}).

Příklady

Banachovy prostory

Všechny pp-parametrizované příklady u Banachových prostorů platí, pokud vezmeme p=2p = 2. Pokud vezmeme p=2p = 2, je třeba se podívat na příklady.

Zejména nn-rozměrný vektorový prostor â n\mathbb{C}^n je komplexní Hilbertův prostor s

Každé podpole KK z â\mathbb{C} dává pozitivně definitní prostor vnitřního součinu K nK^n, jehož doplněním je buď â n\mathbb{R}^n, nebo â n\mathbb{C}^n. Zejména kartézský prostor â n\mathbb{R}^n je reálný Hilbertův prostor; geometrické pojmy vzdálenosti a úhlu definované výše se pro tento příklad shodují s běžnou euklidovskou geometrií.

O Lebesgueových čtvercových integrovatelných funkcích nad množinou

Velmi dobře jsou známy L- Hilbertovy prostory L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3) atd (reálné nebo komplexní). Obecně se L 2(X)L^2(X) pro XX měrný prostor skládá z téměř všude definovaných funkcí ff z XX do skalárního pole (â\mathbb{R} nebo â\mathbb{C}) tak, že â“|f| 2 \int |f|^2 konverguje ke konečnému číslu, přičemž funkce se ztotožňují, pokud jsou téměř všude stejné; máme â¨f,gâ©=â „f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, což konverguje podle CauchyâSchwarzovy nerovnosti. V uvedených konkrétních případech (a obecně, když je XX lokálně kompaktní Hausdorffův prostor) můžeme tento prostor získat také doplněním pozitivně definitního vnitřního součinu prostoru kompaktně podepřených spojitých funkcí.

O čtvercových integrovatelných poloprostorech

• kanonický Hilbertův prostor poloprostorů

Vlastnosti

Báze

Základním výsledkem je, že abstraktně jsou všechny Hilbertovy prostory stejného typu: Každý Hilbertův prostor HH připouští ortonormální bázi, což znamená podmnožinu SâHS \subseteq H, jejíž inkluzní mapa se (nutně jednoznačně) rozšiřuje na izomorfismus

Hilbertových prostorů. Zde l 2(S)l^2(S) je vektorový prostor tvořený těmi funkcemi xx z SS do skalárního pole tak, že

konverguje na konečné číslo; to lze také získat doplněním vektorového prostoru formálních lineárních kombinací prvků SS vnitřním součinem jednoznačně určeným pravidlem

v němž δ uv\delta_{u v} označuje Kroneckerovu deltu. Máme tedy v l 2(S)l^2(S),

(Tento součet konverguje podle CauchyâSchwarzovy nerovnosti.)

Obecně tento výsledek používá při svém důkazu axiom výběru (obvykle ve formě Zornova lemmatu a vyloučeného středu) a je s ním ekvivalentní. Výsledek pro separabilní Hilbertovy prostory však potřebuje pouze závislou volbu, a tak je podle měřítek většiny škol konstruktivní. I bez závislé volby lze často vytvořit explicitní orthornormální báze pro konkrétní L 2(X)L^2(X) pomocí technik aproximace identity, často ve spojení s Gram-Schmidtovým postupem.

Zejména všechny nekonečně rozměrné separovatelné Hilbertovy prostory jsou abstraktně izomorfní k l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

CauchyhoâSchwarzova nerovnost

Schwarzova nerovnost (nebo také CauchyhoâSchwarzova nerovnost apod.) je velmi užitečná:

Jedná se vlastně o dvě věty (přinejmenším): abstraktní větu, že nerovnost platí v libovolném Hilbertově prostoru, a konkrétní větu, že platí, když jsou vnitřní součin a norma definovány vzorci použitými v příkladech L 2(X)L^2(X) a l 2(S)l^2(S) výše. Konkrétní věty platí i pro funkce, které nepatří do Hilbertova prostoru, a dokazují tak, že vnitřní součin konverguje vždy, když konvergují normy. (Ke konstruktivnímu závěru o této konvergenci je zapotřebí poněkud silnější výsledek; lze jej nalézt v knize Erretta Bishopa.)

• Pravý Hilbertův prostor

• Hilbertův C-hvězdicový modul, Hilbertův bimodul

• Kählerův vektorový prostor

Standardní popisy Hilbertových prostorů v kvantové mechanice zahrnují

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (německy) Matematické základy kvantové mechaniky. Berlín, Německo: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. The mathematical physics monograph series. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Kvantová mechanika v Hilbertově prostoru. Academic Press, 1971.