Idea

Gauge theory může označovat buď klasickou teorii pole, nebo kvantovou teorii pole, jejíž konfigurace pole jsou kocykly v diferenciální kohomologii (abelovské nebo neabelovské).

Obyčejné gauge teorie

Obyčejná gauge teorie je kvantová teorie pole, jejíž konfigurace pole jsou vektorové svazky se spojením.

Tam patří zejména pole, která jsou nositeli tří základních sil standardního modelu částicové fyziky:

• Obyčejný elektromagnetismus při absenci magnetických nábojů je gauge teorie U(1)U(1)-principálních svazků se spojením.

• Pole v Yangově-Millsově teorii (jaká se objevují ve standardním modelu fyziky částic a v GUT) jsou vektorové svazky se spojením.

Dalšími příklady jsou formální fyzikální modely.

• Dijkgraafova-Wittenova teorie je měřítková teorie, jejíž polní konfigurace jsou GG-principální svazky pro GG konečnou grupu (ty přicházejí s jedinečným spojením, takže v tomto jednoduchém případě není spojení žádným datem navíc).

Grupa GG se v těchto příkladech nazývá měřítková grupa teorie.

Vyšší a zobecněné měřítkové teorie

Výše uvedené příklady měřítkových polí se skládaly z koyklů v diferenciální kohomologii stupně 11.

Obecněji je vyšší měřítková teorie kvantová teorie pole, jejíž konfigurace pole jsou kocykly v obecnější diferenciální kohomologii, například Delignovy kocykly vyššího stupně nebo obecněji kocykly v jiných diferenciálních zjemněních, například v diferenciální K-teorii.

Toto zobecnění však obsahuje experimentálně viditelnou fyziku, například

• Magnetický proud v elektromagnetismu je svazkový gerbe se spojením, Deligneův kocykl zpřesňující kocykl ve stupni 33 Eilenbergovy-MacLaneovy kohomologie: magnetický náboj .

Celá věž vyšších a zobecněných gauge teorií se však zviditelnila se studiem vyšších teorií supergravitace,

• Kalb-Ramondovo pole je svazkový gerbe se spojením, Deligneův kocykl se zakřivením 3formy.

• Supergravitační C-pole je Deligneův kocyklus se zakřivením 4-formy.

• RR-pole je kocyklus v diferenciální K-teorii.

Gravitace jako (ne)měřítková teorie

Ve formulaci gravitace prvního řádu se i teorie gravitace trochu podobá měřítkové teorii. Je zde však zásadní rozdíl. To, co se zde skutečně děje, je Cartanova geometrie: gravitační pole lze zakódovat do vielbeinova pole, jmenovitě ortogonální struktury na tečném svazku, tedy jako příklad G-struktury, a torzní volnost této G-struktury lze zakódovat pomocným spojením, a to Cartanovým spojením, v této souvislosti často nazývaným âspinovým spojením. Ačkoli je tedy ve formulaci Cartanovy geometrie gravitace popsána mnoha složkami z diferenciální geometrie, kterými se řídí i čistá měřítková teorie, není to zcela totéž. Zejména existuje omezení na Cartanovo spojení, které je z hlediska vielbeinových polí omezením, že vielbein (který je součástí Cartanova spojení) je nedegenerovaný, a tedy skutečně âspinovou formouâ. Takové omezení chybí ve skutečné měřicí teorii, jako je Yangova-Millsova teorie nebo Chernova-Simonsova teorie.

Vlastnosti

Neredundance a lokálnost

Někdy se lze setkat s názorem, že měřicí symetrie je v popisu fyzikální teorie „pouhou redundancí“, například v tom, že mezi pozorovatelnými veličinami jsou fyzikálně významné pouze ty, které jsou měřicí invariantní.

Toto tvrzení však

Anomálie

V přítomnosti magnetického náboje (a pak i v nepřítomnosti chirálních fermionových anomálií?) může být standardní rádoby akční funkcionál pro vyšší měřítkové teorie špatně definován. Greenův-Schwarzův mechanismus je známý jev v diferenciální kohomologii, kterým se taková kvantová anomálie ruší proti anomálii dané chirálními fermiony.

Seznam měrných polí a jejich modelů

Následující text se snaží podat přehled některých sbírek měrných polí ve fyzice, jejich modelů pomocí diferenciální kohomologie a dalších podrobností.

• Yang-Millsovo pole

  • kolektiv v neabelové diferenciální kohomologii nejnižšího stupně

    • původně realizované v termínech diferenciální ?ech kocyklů

      F^âH(X,B¯G) \hat F \in \mathbf{H}(X, \bar \mathbf{B} G)

      s koeficienty v grupoidu forem oceněných Lieovou algebrou,

      tedy tradičně v termínech vektorových svazků se spojením

  • silou pole v závislosti na grupě GG máme

    • G=U(1)G = U(1) -. elektromagnetismus (viz níže)

    • G=SU(2)ÃU(1)G = SU(2)\times U(1) – síla elektroslabého silového pole

    • G=SU(3)G = SU(3) – silné jaderné silové pole

  • paralelní transport: Wilsonovy čáry

• elektromagnetické pole

  • kocyklus ve stupni 22 obyčejné diferenciální kohomologie

    • přirozeně/historicky realizovaný v termínech Maxwell-Diracovy prezentace jako kocyklus v ?echâDelignově kocyklu
      F^âH(X,B¯U(1)). \hat F \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B} U(1))

  • síla pole: elektrické pole EE a magnetické pole BB, lokálně v bodě xâXx \v X

    F=Eâ§dt+â 3B F = E \wedge d t + \star_3 B

  • na X=â 3\{0}X = \mathbb{R}^3\backslash \{0\}: základní třída v integrální kohomologii cl(F^)âH(X,BU(1))âH 2(X,â¤)cl(\hat F) \v H(X,\mathbf{B} U(1)) \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) je magnetický náboj

  • paralelního transportu: měřítková interakce část akčního funkcionálu elektricky nabité kvantové 1částice

• Kalb-Ramondovo pole

  • kocyklus ve stupni-33 obyčejné diferenciální kohomologie

    • přirozeně/historicky realizovaný v termínech

      • kocyklu v ?echâDeligne kocyklu

        H^âH(X,B¯ 2U(1))\hat H \v \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^2 U(1))

      • svazkovém gerbe s konexí

  • silou pole: HâΩ 3(X)H \in \Omega^3(X) âHH-poleâ â na D-braně je to magnetický proud pro Yangovo-Millsovo pole na brane

  • paralelní transport: měřítková interakce část akčního funkcionálu elektricky nabité kvantové 2-částice (struny).

• supergravitační C-pole

  • kocyklus ve stupni 44 obyčejné diferenciální kohomologie

    • přirozeně/historicky realizovaný ve smyslu jako kocyklus v ?echâDelignově kocyklu

      H^âH(X,B¯ 3U(1)) \hat H \v \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^3 U(1))

      při použití D’Auria-Freho formulace supergravitace si jej lze také představit jako neabelovský diferenciální kocykl daný Cartan-Ehresmannovým â-pojením

  • síly pole: HâΩ 4(X)H \in \Omega^4(X) âGG-poleâ â v heterotické supergravitaci je to 5-branový magnetický proud pro zkroucené Kalb-Ramondovo pole

  • paralelní transport: měřítková interakce část akčního funkcionálu elektricky nabité kvantové 3-částice (membrány).

• RR pole

  • kocykl v diferenciální K-teorii

    • v přítomnosti netriviálního Kalb-Ramondova pole: kocykl v diferenciální zkroucené K-teorii

  • síla pole: RR-formy

• svazky vláken ve fyzice

• gauge

• gauge group

• gauge transformace, vyšší měřítková transformace

• BRST komplex, BV-BRST formalismus

• pole duchů, pole duchů

• gauge fixing, gauge fixing fermion, gauge invariant

• mřížková gauge teorie

• Gribovova nejednoznačnost

• quiver gauge theory

• vyšší U(1)-gauge teorie

  • vyšší vazba elektrického náboje na pozadí

• samostatněduální vyšší měřítková teorie

• vyšší spinová měřítková teorie

• kvantová anomálie

  • Green-Schwarzův mechanismus

• teorie nekonečna-Chern-Simonsova

• teorie volného pole

obecné

obecné učebnicové účty:

• Mike Guidry, Gauge Field Theories: An Introduction with Applications, Wiley 2008 (ISBN:978-3-527-61736-4)

• Mikio Nakahara, oddíl 10.5: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Základy o svazcích vláken ve fyzice jsou připomenuty v

• Adam Marsh, Gauge Theories and Fiber Bundles: (arXiv:1607.03089)

Úvod do pojmů v oblasti kvantizace gauge teorií je v

• Nicolai Reshitikhin, Lectures on quantization of gauge systems (pdf)

Standardní učebnice BV-BRST formalismu pro kvantizaci gauge systémů je v

• Marc Henneaux, Claudio Teitelboim, Quantization of Gauge Systems Princeton University Press, 1992

Úplné poznámky k přednáškám na toto téma jsou na

• geometry of physics â perturbative quantum field theory.

Diskuse o abeliánské teorii vyšších měřítek z hlediska diferenciální kohomologie je v

• Dan Freed, Dirac charge quantization and generalized differential cohomology

• Alessandro Valentino, Differential cohomology and quantum gauge fields (pdf)

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory (web page)

• Tohru Eguchi, Peter Gilkey, Andrew Hanson, Gravitation, gauge theories and differential geometry, Physics Reports 66:6 (1980) 213â393 (pdf)

Pro diskusi v kontextu gravitace viz také

• Edward Witten, Symmetry and Emergence (arXiv:1710.01791)

V AQFT

Standardní diskuse o teorii měřítka v kontextu algebraické kvantové teorie pole (AQFT) zahrnuje

• Franco Strocchi, oddíl 4 Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, Found.Phys. 34 (2004) 501-527 (arXiv:hep-th/0401143)

Pro AQFT na zakřivených prostoročasech je třeba axiomy AQFT povýšit na kontext vyšší geometrie, pokud není porušena lokálnost, viz výklady na adrese

• Vyšší svazky polí pro měřítková pole

• Alexander Schenkel, On the problem of gauge theories

  in locally covariant QFT_, přednáška na konferenci Operator and Geometric Analysis on Quantum Theory Trento, 2014 (web)

To bylo stanoveno v

• Marco Benini, Claudio Dappiaggi, Alexander Schenkel, Quantized Abelian principal connections on Lorentzian manifolds, Communications in Mathematical Physics 2013 (arXiv:1303.2515)

a program vylepšení axiomů AQFT na zakřivených prostoročasech na stacky kontext za účelem akomodace gauge theory zahrnuje následující články:

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Richard Szabo, Homotopy colimits and global observables in Abelian gauge theory (arXiv:1503.08839)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Quantum field theories on categories fibered in groupoids (arXiv:1610.06071)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Urs Schreiber, The stack of Yang-Mills fields on Lorentzian manifolds (arXiv:1704.01378)

Duality

Výklad vztahu ke geometrické Langlandsově dualitě je v

• Edward Frenkel, Gauge theory and Langlands duality (pdf)

Historie

Rozbor âgaugeâ a gauge transformace v metafyzice je v

• Georg Hegel, §714 Nauky o logice, 1812

Hermann Weylâ historický argument motivující teorii měřítka ve fyzice ze změny měřítka jednotek délky byl uveden v roce 1918 v

• Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie: V rukopisu Weylovy první knihy o matematické fyzice Prostor â Čas â Hmota (STM) (Raum â Zeit â Materie), dodaném do nakladatelství (Springer) o Velikonocích 1918, nebyla obsažena Weylova nová geometrie a návrh UFT. Byla připravena na základě poznámek z přednášek z kurzu, který se konal v letním semestru roku 1917 na Polytechnickém institutu (ETH) v Curychu. Své nejnovější poznatky zahrnul Weyl až do třetího vydání (1919) knihy. Anglická a francouzská verze (Weyl 1922b, Weyl 1922a), přeložená ze 4. přepracovaného vydání (1921), obsahovala krátký výklad Weylovy zobecněné metriky a myšlenku měřítkové teorie elektromagnetismu. (Scholz)

Viz

• Erhard Scholz, H. Weylâs a E. Cartanovy návrhy infinitezimální geometrie na počátku dvacátých let 20. století (pdf)

Rané přehledy zahrnují

• John Iliopoulos, Progress in Gauge Theories, 1975 (spire:3000)

Krátké přehledy zahrnují

• Quigley, On the origins of gauge theory (pdf)

• Afriat, Weylâs gauge argument (pdf)

Mezi obsáhlejší historické popisy patří

• Lochlainn O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press (1997)

• Lochlainn O’Raifeartaigh, Norbert Straumann, Gauge Theory: Historical Origins and Some Modern Developments Rev. Mod. Phys. 72, 1-23 (2000).

• Norbert Straumann, Early History of Gauge Theories and Weak Interactions (arXiv:hep-ph/9609230)

• Norbert Straumann, Gauge principle and QED, přednáška na PHOTON2005, Varšava (2005) (arXiv:hep-ph/0509116)

.