Násobení racionálních výrazů se může zdát několika studentům obtížné, ale pravidla pro násobení výrazů jsou stejná i u celých čísel. V matematice je racionální číslo definováno jako číslo, které je ve tvaru p/q, kde p a q jsou celá čísla a q není rovno nule.
Příkladem racionálních čísel jsou např:
Algebraický výraz je matematický výraz, ve kterém jsou proměnné a konstanty kombinovány pomocí operačních symbolů (+, -, × & ÷).
Příklad 10x + 63 a 5x – 3 jsou příklady algebraických výrazů. Podobně racionální výraz má tvar p/q a buď p, nebo q jsou algebraické výrazy.
Příkladem racionálního výrazu je např: (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/ (x2 + 3x – 10), (x + 3)/(x + 6) atd.
Jak násobit racionální výrazy?
V tomto článku se naučíme násobit racionální výrazy, ale ještě předtím si připomeňme, že se násobí dva zlomky.
Násobení dvou zlomků obnáší zjištění součinu čitatele prvního a druhého zlomku a součinu jmenovatele. Jinými slovy, násobení dvou racionálních čísel se rovná součinu čitatelů/výsledku jejich jmenovatelů.
Alternativně lze násobení racionálních výrazů provést tak, že; nejprve vynásobíme a zrušíme čitatele a jmenovatele a poté vynásobíme zbývající činitele.
Níže jsou uvedeny kroky potřebné k násobení racionálních výrazů:
- Vynásobíme jmenovatele i čitatele každého výrazu.
- Redukujte výrazy na nejmenší možný člen pouze v případě, že činitelé v čitateli a jmenovateli jsou společní nebo podobní.
- Zbývající výrazy vynásobte dohromady.
Příklad 1
Vynásobte 3/5y * 4/3y
Řešení
Samostatně vynásobte čitatele a jmenovatele;
3/5y * 4/3y = (3 * 4)/ (5y * 3y)
= 12/15y 2
Snížení zlomku zrušením o 3;
12/15y 2 = 4/5y2
Příklad 2
Násobení {(12x – 4x 2)/ (x 2 + x -12)} * {(x 2 + 2x -8)/ (x 3-4x)}
Řešení
Vynásobte oba čitatele i jmenovatele každého výrazu;
= {- 4x (x – 3)/(x-3) (x + 4)} * {(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)}
Redukujte nebo zrušte výrazy a zbylý zlomek přepište;
= -4/ x + 2
Příklad 3
Vynásobte (x 2 – 3x – 4/x 2 -x -2) * (x 2 – 4/ x2 + x – 20).
Řešení
Vynásobte čitatele a jmenovatele všech výrazů;
= (x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2) * (x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)
Zrušte a přepište zbylé činitele;
= x + 2/ x + 5
Příklad 4
Násobení
(9 – x 2/x 2 + 6x + 9) * (3x + 9/3x – 9)
Řešení
Vynásobte čitatele a jmenovatele a zrušte společné činitele;
= – 1 (x + 3) (x – 3)/ (x + 3)2 * 3(x + 3)/3(x – 30
= -1
Příklad 5
Zjednodušte: (x2+5x+4) * (x+5)/(x2-1)
Řešení
Složením čitatele a jmenovatele dostaneme;
=>(x+1) (x+4) (x+5)/(x+1) (x-1)
Po zrušení společných členů dostáváme;
=>(x+4) (x+5)/x-1
Příklad 6
Vynásobíme ((x + 5) / (x – 4)). * (x / x + 1)
Řešení
= ((x + 5) * x) / ((x – 4) * (x + 1))
= (x2 + 5x) / (x2 – 4x + x – 4)
= (x2 + 5x) / (x2 – 3x- 4)
Při násobení celého čísla algebraickým výrazem stačí číslo vynásobit čitatelem výrazu.
To je možné proto, že každé celé číslo má vždy jmenovatele 1. A proto se pravidla násobení mezi výrazem a celkem nemění.
Podívejte se na následující příklad 7:
Příklad 7
Násobte ((x + 5) / (x2 – 4)). * x
Řešení
= ((x + 5) / (x2 – 4)) * x / 1
= (x + 5) * x / (x2 – 4) × 1
= (x2 + 5x) / (x2 – 4)
Cvičné otázky
Zjednodušte následující racionální výrazy:
Odpovědi
.