Pokud má polynom pouze jeden neurčitý člen (jednorozměrný polynom), pak se členy obvykle zapisují buď od nejvyššího stupně k nejnižšímu („sestupné mocniny“), nebo od nejnižšího stupně k nejvyššímu („vzestupné mocniny“). Jednorozměrný polynom v x stupně n pak má výše zobrazený obecný tvar, kde

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 a c0

jsou konstanty, koeficienty polynomu.

Zde se člen cnxn nazývá vedoucí člen a jeho koeficient cn vedoucí koeficient; je-li vedoucí koeficient 1, nazývá se jednočlenný polynom monický.

PříkladyEdit

• Komplexní kvadratické polynomy

VlastnostiEdit

Multiplikativně uzavřenáEdit

Množina všech monických polynomů (nad daným (jednotkovým) kruhem A a pro danou proměnnou x) je uzavřená při násobení, protože součinem vedoucích členů dvou monických polynomů je vedoucí člen jejich součinu. Monické polynomy tedy tvoří multiplikativní pologrupu polynomického kruhu A. Ve skutečnosti, protože konstantní polynom 1 je monický, je tato pologrupa dokonce monoidem.

Částečně uspořádanáUpravit

Restrikce relace dělitelnosti na množinu všech monických polynomů (nad daným kruhem) je částečné uspořádání, a činí tedy z této množiny poset. Důvodem je, že pokud p(x) dělí q(x) a q(x) dělí p(x) pro dva monické polynomy p a q, pak se p a q musí rovnat. Odpovídající vlastnost neplatí pro polynomy obecně, pokud prstenec obsahuje jiné invertibilní prvky než 1.

Řešení polynomiálních rovnicUpravit

Jinak vlastnosti monických polynomů a jim odpovídajících monických polynomiálních rovnic rozhodujícím způsobem závisí na koeficenčním prstenci A. Je-li A pole, pak každý nenulový polynom p má přesně jeden přidružený monický polynom q: p dělený svým vedoucím koeficientem. Tímto způsobem lze tedy každou netriviální polynomickou rovnici p(x) = 0 nahradit ekvivalentní monickou rovnicí q(x) = 0. Například obecná reálná rovnice druhého stupně

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(kde a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

)

můžeme nahradit

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}.

,

zastoupením p = b/a a q = c/a. Tedy rovnice

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displayystyle 2x^{2}+3x+1=0}.

je ekvivalentní monické rovnici

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}

Obecný vzorec kvadratického řešení má pak poněkud zjednodušený tvar:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}levá(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}pravá)}.

IntegralityEdit

Na druhou stranu, pokud kruh koeficientů není polem, existují podstatnější rozdíly. Například monická polynomická rovnice s celočíselnými koeficienty nemůže mít racionální řešení, která nejsou celočíselná. Tedy rovnice

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}.

možná může mít nějaký racionální kořen, který není celé číslo (a mimochodem jeden z jejích kořenů je -1/2); zatímco rovnice

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}.

a

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}.

mohou mít pouze celočíselné nebo iracionální řešení.

Kořeny monických polynomů s celočíselnými koeficienty se nazývají algebraická celá čísla.

Řešení monických polynomických rovnic nad integrálním oborem jsou důležitá pro teorii integrálních rozšíření a integrálně uzavřených oborů, a tedy pro algebraickou teorii čísel. Obecně předpokládejme, že A je integrální obor a zároveň podobor integrálního oboru B. Uvažujme podmnožinu C oboru B, tvořenou těmi prvky oboru B, které splňují monické polynomické rovnice nad A:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , která je monická a taková, že p ( b ) = 0 } . {\displayystyle C:=\{b\v B:\existuje \,p(x)\v A\,,{\hbox{ který je monický a takový, že }}p(b)=0\}\,.}

Množina C obsahuje A, protože každé a ∈ A splňuje rovnici x – a = 0. Navíc lze dokázat, že C je uzavřená při sčítání a násobení. C je tedy podokruh B. Okruh C se nazývá okruh A v B; nebo jen integrální uzávěr A, je-li B zlomkovým polem A; a o prvcích C se říká, že jsou integrální nad A. Jestliže zde A = Z {\displayystyle A=\mathbb {Z} }

(kruh celých čísel) a B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }

(obor komplexních čísel), pak C je obor algebraických celých čísel.

NeredukovatelnostEdit

Je-li p prvočíslo, je počet monických neredukovatelných polynomů stupně n nad konečným polem G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}

s p prvky se rovná náhrdelníkové počítací funkci N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Pokud odstraníme omezení, že je monické, stane se toto číslo ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}